第1讲 直线与圆
[2019考向导航] 考点扫描 1．直线方程与两直线的位置关系 2．圆的方程 3．直线与圆的位置关系 三年考情 2019 2018 第12题 2017 考向预测 本讲命题热点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、圆的方程、直线与圆的位置关系(特别是弦长、切线问题)，此类问题难度属于中等，一般以 第13题 填空题的形式出现，多考查其几何图形的性质或方程知识．
1．必记的概念与定理 (1)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
②斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
③两点式：y－y1x－x1
＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐y2－y1x2－x1
标轴和平行于坐标轴的直线)．
④截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． (2)圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：(x－a)＋(y－b)＝r．
②圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)． 2．记住几个常用的公式与结论 (1)点到直线的距离公式
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
2
2
2
2
2
2
2
xyabd＝
|Ax1＋By1＋C|
．
A2＋B2
(2)两条平行线间的距离公式
- 1 -
|C1－C2|
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝2．
A＋B2
(3)若直线l1和l2有斜截式方程l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1．
(4)设l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0．则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0． (5)方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是： ①B＝0；②A＝C≠0；③D＋E－4AF＞0． (6)常用到的圆的几个性质
①直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； ②圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ③圆心在任一弦的中垂线上；
④两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
⑤圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．
3．需要关注的易错易混点
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．
直线方程与两直线的位置关系
[典型例题]
(1)(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象
→→
限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________．
(2)(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．
→→
【解析】 (1)因为AB·CD＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°．设π??直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan?θ＋?＝－3．又B(5，4??0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立
2
2
2
2
- 2 -
???y＝－3（x－5），?x＝3，
直线AB与直线l的方程，得?解得?所以点A的横坐标为3．
?y＝2x，?y＝6，??
(2)法一：由两条直线平行得－＝－＋3b＝仅当
ab2a62b且≠－，化简得a＝＞0，得b＞3，故2ab－325b－3
4b4（b－3）＋1212
＋3b＝＋3(b－3)＋9＝13＋＋3(b－3)≥13＋236＝25，当且b－3b－3b－3
12
＝3(b－3)，即b＝5或b＝1(舍去)时等号成立，故(2a＋3b)min＝25． b－3
法二：由两条直线平行得－＝－
ab2a623?23?且≠－，化简得＋＝1，故2a＋3b＝?＋?(2ab－325ab?ab?
6b6a＋3b)＝13＋＋≥13＋2
ab6b6aba23
×＝25，当且仅当＝且＋＝1，
ababab即a＝b＝5时等号成立，故(2a＋3b)min＝25． 【答案】 (1)3 (2)25
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．
(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．
[对点训练]
1．直线4ax＋y＝1与直线(1－a)x＋y＝－1互相垂直，则a＝________． [解析] 由题可得：4a(1－a)＋1＝0，即4a－4a－1＝0， 1±2故a＝．
21±2
[答案]
2
2．(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
[解析] 由题意可得直线l1恒过定点A(0，2)，直线l2恒过定点B(2，0)，且l1⊥l2，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2．圆心(1，1)到直线x－y|1－1－4|
－4＝0的距离为＝22，则点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为32．
2
[答案] 32
- 3 -
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2
2