(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案(文)苏教版

第1讲 直线与圆

[2019考向导航] 考点扫描 1.直线方程与两直线的位置关系 2.圆的方程 3.直线与圆的位置关系 三年考情 2019 2018 第12题 2017 考向预测 本讲命题热点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、圆的方程、直线与圆的位置关系(特别是弦长、切线问题),此类问题难度属于中等,一般以 第13题 填空题的形式出现,多考查其几何图形的性质或方程知识.

1.必记的概念与定理 (1)直线方程的五种形式

①点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).

②斜截式:y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).

③两点式:y-y1x-x1

=(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐y2-y1x2-x1

标轴和平行于坐标轴的直线).

④截距式:+=1(a、b分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).

⑤一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0). (2)圆的方程的两种形式

①圆的标准方程:(x-a)+(y-b)=r.

②圆的一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0). 2.记住几个常用的公式与结论 (1)点到直线的距离公式

点P(x1,y1)到直线l:Ax+By+C=0的距离

2

2

2

2

2

2

2

xyabd=

|Ax1+By1+C|

A2+B2

(2)两条平行线间的距离公式

- 1 -

|C1-C2|

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=2.

A+B2

(3)若直线l1和l2有斜截式方程l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.

(4)设l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. (5)方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是: ①B=0;②A=C≠0;③D+E-4AF>0. (6)常用到的圆的几个性质

①直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长,弦心距,圆半径); ②圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ③圆心在任一弦的中垂线上;

④两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;

⑤圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过圆心的直线成轴对称. 两圆相交,将两圆方程联立消去二次项,得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.

3.需要关注的易错易混点

(1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在,两条直线都有斜率时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑.

(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为Ax+By+C=0的形式,否则会出错.

直线方程与两直线的位置关系

[典型例题]

(1)(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象

→→

限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为________.

(2)(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________.

→→

【解析】 (1)因为AB·CD=0,所以AB⊥CD,又点C为AB的中点,所以∠BAD=45°.设π??直线l的倾斜角为θ,直线AB的斜率为k,则tan θ=2,k=tan?θ+?=-3.又B(5,4??0),所以直线AB的方程为y=-3(x-5),又A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,联立

2

2

2

2

- 2 -

???y=-3(x-5),?x=3,

直线AB与直线l的方程,得?解得?所以点A的横坐标为3.

?y=2x,?y=6,??

(2)法一:由两条直线平行得-=-+3b=仅当

ab2a62b且≠-,化简得a=>0,得b>3,故2ab-325b-3

4b4(b-3)+1212

+3b=+3(b-3)+9=13++3(b-3)≥13+236=25,当且b-3b-3b-3

12

=3(b-3),即b=5或b=1(舍去)时等号成立,故(2a+3b)min=25. b-3

法二:由两条直线平行得-=-

ab2a623?23?且≠-,化简得+=1,故2a+3b=?+?(2ab-325ab?ab?

6b6a+3b)=13++≥13+2

ab6b6aba23

×=25,当且仅当=且+=1,

ababab即a=b=5时等号成立,故(2a+3b)min=25. 【答案】 (1)3 (2)25

(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.

(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.

[对点训练]

1.直线4ax+y=1与直线(1-a)x+y=-1互相垂直,则a=________. [解析] 由题可得:4a(1-a)+1=0,即4a-4a-1=0, 1±2故a=.

21±2

[答案]

2

2.(2019·南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为________.

[解析] 由题意可得直线l1恒过定点A(0,2),直线l2恒过定点B(2,0),且l1⊥l2,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,圆的方程为(x-1)+(y-1)=2.圆心(1,1)到直线x-y|1-1-4|

-4=0的距离为=22,则点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为32.

2

[答案] 32

- 3 -

2

2

2

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