?3?25
所以圆C的方程为(x－2)＋?y＋?＝．
4?2?
2
2
?3?25
[答案] (x－2)＋?y＋?＝
4?2?
2
2
直线与圆的位置关系
[典型例题]
(1)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)＋(y＋1)＝4截得的
弦长为________．
2
2
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x＋y－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
①设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； ②设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程； ③设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 →→→
TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围． 【解】 (1)圆心为(2，－1)，半径r＝2． |2＋2×（－1）－3|35
圆心到直线的距离d＝＝，
51＋4所以弦长为2r－d＝2255
故填．
5
(2)圆M的标准方程为(x－6)＋(y－7)＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．
①由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0 因此，圆N的标准方程为(x－6)＋(y－1)＝1． 4－0②因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2． 2－0 2 2 2 2 222 2 ?35?22552－??＝5． ?5? 2 - 5 - 设直线l的方程为y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离 d＝ |2×6－7＋m||m＋5| ＝． 55 2 2 因为BC＝OA＝2＋4＝25， （m＋5）?BC?而MC＝d＋??，所以25＝＋5， 5?2? 2 2 2 2 解得m＝5或m＝－15． 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． ③设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． →→→ 因为A(2，4)，T(t，0)，TA＋TP＝TQ， ??x2＝x1＋2－t，所以?(ⅰ) ?y2＝y1＋4．? 因为点Q在圆M上，所以(x2－6)＋(y2－7)＝25．(ⅱ) 将(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)＋(y1－3)＝25． 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]＋(y－3)＝25上， 从而圆(x－6)＋(y－7)＝25与圆[x－(t＋4)]＋(y－3)＝25有公共点， 所以5－5≤[（t＋4）－6]＋（3－7）≤5＋5， 解得2－221≤t≤2＋221． 因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221]． (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理． [对点训练] - 6 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4．(2019·苏州市高三调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)＋(y－2)＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________． [解析] 当直线l的斜率不存在时，直线x＝1与圆不相切．当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y－1＝k(x－1)，因为直线kx－y＋1－k＝0与圆相切，圆心的坐标为(－1，|－k－2＋1－k|2 2)，半径为5，则＝5，化简得k－4k＋4＝0，解得k＝2，又直线l与直线2 k＋1 2 2 ax＋y－1＝0垂直，所以－a＝－，则a＝． 1 [答案] 2 5．(2019·南通高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x＋y2 2 2 2 1212 ＝1相切于点T，与圆(x－a)＋(y－3)＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________． [解析] 因为圆(x－a)＋(y－3)＝3的圆心(a，3)在第一象限，且与x轴相切，故切线PT必过第一、二、三象限，由OP＝2，OT＝1得∠TPO＝30°，从而切线PT的方程为y＝|3a＋23－33||a－1| (x＋2)，线段PT＝3，圆心(a，3)到直线PT的距离为＝， 23＋9 故RS＝2 3－（ 3 3 2 2 a－1 2 ），从而3＝2 2 3－（ a－1 2 ）， 2 解得a＝4或－2(舍去)． [答案] 4 1．若圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________． [解析] 由题意知 21＋k2 2 2 ＞1，解得－3＜k＜3． [答案] (－3， 3) 2．(2019·扬州期末)圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为________． [解析] 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝4＋1＝17．因为3－2＜d＜3＋2，所以两圆相交． [答案] 相交 3．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0 12 的最大距离为3，则＋的最小值为________． 2ac[解析] 动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0． - 7 - 2 2 2 2 2 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3， 所以 （4－1）＋（0－m）＝3，解得m＝0．所以a＋c＝2． 121?12?1?5c2a?1?5 又a>0，c>0，所以＋＝(a＋c)?＋?＝?＋＋?≥?＋2 2ac2?2ac?2?22ac?2?24 仅当c＝2a＝时取等号． 3 9 [答案] 4 4．已知以原点O为圆心的圆与直线l：y＝mx＋(3－4m)，(m∈R)恒有公共点，且要求使圆O的面积最小，则圆O的方程为________． [解析] 因为直线l：y＝mx＋(3－4m)过定点T(4，3)，由题意，要使圆O的面积最小，则定点T(4，3)在圆上，所以圆O的方程为x＋y＝25． [答案] x＋y＝25 5．(2019·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)＋(y＋a－3)＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________． [解析] 由题意可得圆N与圆M内切或内含，则|ON|≥2恒成立，即|ON|min＝|OM|－1≥2，|OM|≥3，即a＋(a－3)≥9，又a>0，得a≥3，则a的最小值是3． [答案] 3 6．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x＋y－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________． [解析] 直线l被圆C：(x－1)＋(y－2)＝5所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d＝ |1－m| 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22c2a?9 ·?＝，当且2ac?4 m＋1 ＝ （1－m） ＝ m2＋1 21－ 2m，当d取最大值时，m＜0，此时d＝m＋1 2 2 1＋≤2，当且仅当－m＝1，即m＝－1 时取等号，即d取得最大值，弦长 1 （－m）＋ －m最短． [答案] －1 7．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)＋(y－8) 2 2 2 2 ＝1，圆C2：(x－6)＋(y＋6)＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆 C的方程是________． [解析] 因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋F＝0．用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以 2 2 - 8 -