课时作业52 椭圆
一、选择题
x2
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
2
A．23 C．43
B．6 D．12
解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.
答案：C
xy4
2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( ) 94＋k52
2
A．－21 C．－或21
解析：若a＝9，b＝4＋k，则c＝5－k， c45－k419
由＝，即＝，解得k＝－； a53525若a＝4＋k，b＝9，则c＝k－5， c4k－54若＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5答案：C 2222B．21 D.或21
19251925
xy
3．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线
95|PF2|
段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
|PF1|
22
A. C.
49
514
B. D. 59
513
解析：由题意知a＝3，b＝5，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，
b513|PF2|
∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴
a33|PF1|535
＝×＝，故选B. 31313
答案：B
4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l1
的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
4
2
A. C.
23
13
B. D. 34
12
解析：解法1：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得
2
122222＝×2b，解得b＝3c，又b＝a－c，22
b＋c4bc
c11112
所以2＝，即e＝，所以e＝(e＝－舍去)，故选B. a4422
解法2：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得1bc1c1
＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝，故选22a4a2b＋c4bcB. 答案：B x25．已知椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作
4→
→
2垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得PF1·PF2<0的点M的概率为( )
A.C.2 26 3→
2
B.
22
312
D. →
→
→
解析：设P(x，y)，PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，∵PF1·PF2＝(－c－x，3x2626?x?－y)·(c－x，－y)＝x＋y－c＝x＋?1－?－3＝－2<0，∴－ 2 2 2 2 2 26 2×36 PF1·PF2<0的点M的概率为＝. 2×23→ →答案：C 2 xy 6．(2017·湖北武昌调研)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx＋ abcy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是( ) 22 A.C. 2 43 3 B.D. 3 42 2 解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，则n?b?·?－?＝－1，??m＋c?c??m－cn??b·2＋c·2＝0 ? nc??＝，?m＋cb??bm－bc＋nc＝0， 2 bc－c 所以m＝22＝b＋c －2e2a 2 232 －2c2ac 2 cb＋bc2bc ＝(1－2e)c，n＝22＝2b＋ca 2 24 222 22 ＝2be.因为点P(m，n)在椭圆上，所以4e＋e－1＝0，将各选项代入知e＝ 答案：D 二、填空题 6 2 4be2224 ＋2＝1，即(1－2e)e＋4e＝1，即 b 2 符合，故选D. 2 xy 7．直线x－2y＋2＝0过椭圆2＋2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为 ab________． 解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2. 直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b＝1. x2 故a＝b＋c＝5，椭圆方程为＋y＝1. 5 2 2 2 2 22 x2 答案：＋y＝1 5 π 8．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝2，则椭圆的 4两个焦点之间的距离为________． xyπ 解析：如图，设椭圆的标准方程为2＋2＝1，由题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝， ab4 2 2 2 3 114222 BC＝2，∴点C的坐标为C(－1,1)．又∵点C在椭圆上，∴＋2＝1，∴b＝，∴c＝a 4b34826462 －b＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为. 3333 46答案： 3 xy 9．(2017·安徽江南十校联考)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直 ab线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________． |PQ|a 解析：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA 22|OP|113a3??12 ＝＝，故∠POA＝60°，易得P?a，a?，代入椭圆方程得：＋2＝1，故a|OA|21616b4??4c425＝5b＝5(a－c)，则2＝，所以离心率e＝. a55 22222 2 2 25答案： 5三、解答题 xy?210? 10．如图，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0)，点H?2，?在椭圆上． ab3?? 22 (1)求椭圆的方程； 4 (2)点M在圆x＋y＝b上，且M在第一象限，过M作圆x＋y＝b的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值． 解：(1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)， 222222 ?210? c＝1，∵H?2，?在椭圆上，∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝ 3?? 2 2 ＋ 2 ＋??210?2 ?＋?3? － 2 xy?210?2 ＋??＝6，∴a＝3，b＝22，故椭圆的方程是9＋8＝1. ?3? 2 2 1 x1y1 (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，|PF2|＝98 1 － 2 ＋y1＝ 2 － 2 ?x1?＋8?1－?＝?9? 2?x1－3?2， ?3??? 1 ∵0 3在圆中，M是切点， ∴|PM|＝|OP|－|OM| ＝x＋y－8＝21 21 2 2 1?x1?x＋8?1－?－8＝x1， 3?9? 2 1 211 ∴|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3， 33同理：|QF2|＋|QM|＝3， ∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6， 因此△PF2Q的周长是定值6. x2 11．(2016·浙江卷)如图，设椭圆2＋y＝1(a>1)． a 2 (Ⅰ)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)； (Ⅱ)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． y＝kx＋1，??2 解：(Ⅰ)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由?x2 2＋y＝1??a 得(1＋ak)x 222 5