三 立体几何(B)
1.(2018·丰台区一模)如图所示,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC,∠DAB=∠ABP=90°.
(1)求证:AD⊥平面PAB; (2)求证:AB⊥PC;
(3)若点E在棱PD上,且CE∥平面PAB,求的值.
2.(2018·河南模拟)已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明; (2)求三棱锥EABC的体积.
3.(2018·朝阳三模)如图,在△PBE中,AB⊥PE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=PBA沿AB折起使得二面角PABE是直二面角.
,AB=AP=AE=2,将△
(1)求证:CD∥平面PAB; (2)求三棱锥EPAC的体积.
4.(2018·湖北模拟)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置,使得二面角PEFB的大小为60°.
(1)求证:EF⊥PB;
(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时,求四棱锥PEBCF的侧面积.
1.(1)证明:因为∠DAB=90°,所以AD⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD. 且平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以AD⊥平面PAB.
(2)证明:由已知得AD⊥AB, 因为AD∥BC,所以BC⊥AB.
又因为∠ABP=90°,所以PB⊥AB.
因为PB∩BC=B, 所以AB⊥平面PBC, 所以AB⊥PC.
(3)解:过E作EF∥AD交PA于F,连接BF. 因为AD∥BC,所以EF∥BC.
所以E,F,B,C四点共面, 又因为CE∥平面PAB,
且CE?平面BCEF,平面BCEF∩平面PAB=BF, 所以CE∥BF,
所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF=BC. 在△PAD中,因为EF∥AD,
所以===.即=.
2.解:(1)因为平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
所以过E作EQ⊥平面BCD,交CD于Q,过A作AP⊥平面BCD,交BC 于P, 所以EQ∥AP,过Q作QO∥BC,交BD于O,连接EO,
则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线,使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行. 证明如下:
因为EQ∥AP,QO∥BC,
EQ∩QO=Q,AP∩BC=P,EQ,QO?平面EQO,AP,BC?平面ABC, 所以平面EQO∥平面ABC,
所以直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.
(2)因为△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形, 所以AP=
=2
,
所以S△ABC=×2×2=2, 由(1)知平面EQO∥平面ABC,
所以E到平面ABC的距离为OQ中点到平面ABC的距离, 所以,点E到平面ABC的距离d=DP=所以三棱锥EABC的体积
=
, ×2
=
.
=×d×S△ABC=×
3.(1)证明:因为AE=2,所以AE=4, 又AB=2,AB⊥AE,
所以BE=又因为AC=
==BE,
=2,
所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线,所以C是BE的中点, 又因为D是AE的中点, 所以CD∥AB,
又因为CD?平面PAB,AB?平面PAB,所以CD∥平面PAB.
(2)解:由(1)可证CD⊥平面PAE,CD=AB=1,
因为二面角PABE是直二面角,平面PAB∩平面ABE=AB,PA?平面PAB,PA⊥AB, 所以PA⊥平面ABE, 又因为AP=2,
所以==××AE×CD×AP=××4×1×2=. 4.(1)证明:因为AB=BC=3, 所以BC⊥AB, 又EF∥BC,
所以EF⊥AB,从而EF⊥PE,EF⊥BE, 又PE∩BE=E,
所以EF⊥平面PBE,
又PB?平面PBE,所以EF⊥PB. (2)解:因为EF⊥PE,EF⊥BE,
所以∠PEB为二面角PEFB的平面角,即∠PEB=60°, 又E为AB的靠近B点的三等分点,AB=3, 所以PE=2,BE=1,
在△PBE中,由余弦定理得
PB==,
222
由于PB+EB=PE, 所以PB⊥EB,
PB,BC,BE两两垂直,又EF⊥PE,EF⊥BE, 所以△PBE,△PBC,△PEF均为直角三角形, 又==, 所以EF=2,
所以S△PBC=BC·PB=,S△PBE=PB·BE=,S△PEF=EF·PE=2, 在四边形BCFE中,过点F作BC的垂线,垂足为H,
22222
则FC=FH+HC=1+1=2, 所以FC=. 又PF=
所以cos ∠PFC=故为sin ∠PFC=
,
,
+
.
=2
,PC=
=2=-,
,
所以S△PFC=PF·FCsin ∠PFC=
所以四棱锥的侧面积为S△PBC+S△PBE+S△PEF+S△PFC=2+2