魏祥师 泗阳致远中学 高中数学
高中数学不等式的几种常见证明方法
摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解.
关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式
一、比较法
所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过“a?b?0，a?b?0，a?b?0；或系的方法，前者为作差法，后者为作商法.
例 1 设x,y?R，求证：x2?4y2?2?2x?4y. 证明： x2?4y2?2?2x?4y ＝x2?2x?1?4y2?4y?1 ＝(x?1)2?(2y?1)2
因为 (x?1)2?0， (2y?1)2?0 ? (x?1)2?(2y?1)2?0 ?x2?4y2?2?2x?4y?0 ?x2?4y2?2?2x?4y
例 2 已知：a＞b＞c＞0, 求证：a2a?b2b?c2c＞ab?c?ba?c?cb?c.
a2a?b2b?c2c证明：b?ca?cb?c＝a2a?b?c?b2b?a?c?c2c?b?c
a?b?caaa?1，?1，?1”来确定a，b大小关bbb ＞c2a?b?c?c2b?a?c?c2c?b?c
1
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＝c0＝1
a2a?b2b?c2c?b?c＞1 a?cb?ca?b?c?a2a?b2b?c2c＞ab?c?ba?c?cb?c
二、分析法
分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.
例 3 求证3?6?22?7 证明： 9?6?0,8?7?0
?为了证明原不等式成立，只需证明(即 15?254?15?256， 只需证明54?56,54?56 9?6)2?(8?7)2 54?56成立 ?原不等式成立 运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法
从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法.
1125例 4 已知a,b?R?，a?b?1，求证：(a?)2?(b?)2?
ab2证明：∵ a?b?1 ∴ 1=(a?b)2?a2?b2?2ab?2(a2?b2) ∴ a2?b2?1 22
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又 ∵
11111212??(a?b)(?)?(2ab)?2?2?8 22222ababab1111125 ∴ (a?)2?(b?)2?(a2?b2)?4?(2?2)??4?8?．
abab22四、反证法
从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反证法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾.
反证法证明一个命题的思路及步骤： （1） 假定命题的结论不成立；
（2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾; （3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; （4） 肯定原来命题的结论是正确的.
例 5 已知a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?o，求证：a?0,b?0,c?0. 证明：由abc?0知a?0，假设a?0，则bc?0 又因为a?b?c?0，所以b?c??a?0，即a?b?c??0 从而ab?bc?ca?a?b?c??bc?0，与已知矛盾.
? 假设不成立，从而a?0
同理，可证b?0,c?0 五、放缩法
放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的.
例 6 设a、b、c是三角形的边长，求证
abc???3
b?c?ac?a?ba?b?c证明：由不等式的对称性，不妨设a?b?c，则b?c?a?c?a?b?a?b?c 且2c?a?b?0， 2a?b?c?0 ∴
abcabc???3??1??1??1
b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c3
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2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b??????0
c?a?bc?a?bc?a?bb?c?ac?a?ba?b?cabc ∴???3
b?c?ac?a?ba?b?c ?六、数学归纳法
对于含有n(n?N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在
n?k(n?N)时成立的假设下，还能证明不等式在n?k?1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立.
例 7 证明：2n?2?n2,n?N?.
证明：（1）当n?1时，左边=21?2?4；右边=1，左边?右边.所以原不等式成立. 当n=2时，左=22?2?6，右=22=4，所以左?右； 当n=3时，左=23?2?10，右=32=9，所以左?右. 因此当n?1,2,3时，不等式成立.
（2）假设当n?k（k?3且k?N）时，不等式成立.即2k?2?k2. 因为2k?1?2?2?2k?2?2?2k?2??2?2k2?2
=k2?2k?1?k2?2k?3
=?k2?2k?1???k?1??k?3? （因k?3，则k?3?0，k?1?0） ?k2?2k?1??k?1?
所以，2k?1?2??k?1?.故当n?k?1时，原不等式也成立. 根据（1）和（2），原不等式对于任何n?N都成立. 七、换元法
在证明过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明得到简化. 例 8 已知a,b?R,且a2?b2?1,求证：a2?2ab?b2?2. 证明：设a?rcos?,b?rsin?,其中r?1,???0,2??
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则a2?2ab?b2?r2cos2??2r2sin?cos??r2sin2? =r2cos2??r2sin2?
???=2r2sin?2????2 4???a2?2ab?b2?2 原不等式得证.
例 9 已知：a?b?c?1，求证：ab?bc?ca?证明：设a?1. 3111?t，b??at(t?R)，则c??(1?a)t， 333
?1??1??1??1??1??1?ab?bc?ca???t???at????at???(1?a)t????t???(1?a)t??3??3??3??3??3??3?11 ?(1?a?a2)t2?,33
1所以 ab?bc?ca?3 ?例 10 已知a,b?R且a?b?1，求证：?a?2???b?2??证明：因为a,b?R且a?b?1 所以设a?22225 211?t,b??t?t?R? 222 则?a?2???b?2??1??1????t?2????t?2? ?2??2?2222?5??5? =??t????t?
?2??2? = 即?a?2???b?2? 原不等式成立. 八、利用均值不等式
均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相
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222525?2t2? 2225? 2