§2.1 函数及其表示
考纲展示? 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
考点1 函数的概念
1.函数与映射的概念
函数 建立在两个________A到B的一种确定的映射 建立在两个________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有________的元素定义 对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应 记法 y＝f(x)，x∈A y与之对应 f：A→B 答案：非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定 2．函数由定义域、________和值域三个要素构成． 答案：对应关系
3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
答案：定义域 对应关系
[教材习题改编]以下属于函数的有________． ①y＝±x； ②y＝x＋1； ③y＝－x＋x－3； ④y＝x－2(x∈N)．
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答案：④
解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．
函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．
如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．
答案：①②④ ①②
解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，
B不是数集，所以不是函数．
[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )
A．① C．①②③
B．①③④ D．③④
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[答案] B
[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝|x|，g(x)＝x B．f(x)＝x，g(x)＝(x)
2
22
x2－1
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
x－1
D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x－1 [答案] A
[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)； B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)， ∴两函数的定义域不同；
C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)， ∴两函数的定义域不同；
D中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；
2
g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选A. (3)下列集合A到集合B的对应f中：
①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方； ②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方； ③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；
④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值． 是从集合A到集合B的函数的为________． [答案] ①
[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．
[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示
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