2018届高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数及其表示学案理

§2.1 函数及其表示

考纲展示? 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.

2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).

考点1 函数的概念

1.函数与映射的概念

函数 建立在两个________A到B的一种确定的映射 建立在两个________A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的________元素x,在集合B中都有________的元素定义 对应关系f,使对于集合A中的________一个数x,在集合B中都有________的数f(x)和它对应 记法 y=f(x),x∈A y与之对应 f:A→B 答案:非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定 2.函数由定义域、________和值域三个要素构成. 答案:对应关系

3.相等函数:如果两个函数的________和________完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

答案:定义域 对应关系

[教材习题改编]以下属于函数的有________. ①y=±x; ②y=x+1; ③y=-x+x-3; ④y=x-2(x∈N).

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答案:④

解析:①②中,对于定义域内任意一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,所以①②错误;③中,定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,所以③错误.

函数与映射理解的误区:唯一性;非空数集.

如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中________是映射,________是函数.

答案:①②④ ①②

解析:函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②是函数,由于④中集合A,

B不是数集,所以不是函数.

[典题1] (1)下列四个图象中,是函数图象是( )

A.① C.①②③

B.①③④ D.③④

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[答案] B

[解析] ②中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;①③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.故选B.

(2)下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A.f(x)=|x|,g(x)=x B.f(x)=x,g(x)=(x)

2

22

x2-1

C.f(x)=,g(x)=x+1

x-1

D.f(x)=x+1·x-1,g(x)=x-1 [答案] A

[解析] A中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x); B中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0), ∴两函数的定义域不同;

C中,f(x)=x+1(x≠1),g(x)=x+1(x∈R), ∴两函数的定义域不同;

D中,f(x)=x+1·x-1(x+1≥0且x-1≥0),f(x)的定义域为{x|x≥1};

2

g(x)=x2-1(x2-1≥0),

g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.

∴两函数的定义域不同.故选A. (3)下列集合A到集合B的对应f中:

①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数平方; ②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方; ③A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数;

④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值. 是从集合A到集合B的函数的为________. [答案] ①

[解析] ②中,由于1的开方数不唯一,因此f不是A到B的函数;③中,A中的元素0在B中没有对应元素;④中,A中的元素0在B中没有对应元素.

[点石成金] 函数的三要素:定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立的,值域可由定义域和对应法则唯一确定.因此当且仅当定义域和对应法则都相同时,函数才是同一函数.特别值得说明的是,对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的.即对应法则是否相同,不能只看外形,要看本质;若是用解析式表示

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