21．（8分）（2016秋?娄星区期末）已知：如图所示，AB=AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD．求证：DE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】欲证明DE=DF，只要证明△ABD≌△ACD（SSS），推出∠B=∠C再证明△BDE≌△CDF即可． 【解答】证明：连接AD． 在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C， 在BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）， ∴DE=DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用两次全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）（2016秋?娄星区期末）已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC
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中，AD为BC边上的中线，且AD=2（1）求：△ABC的面积；
，以AD为一边向左作等边△ADE．
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可知∠DAC=30°，在RtADC中求出DC，再根据BC=2DC，由此即可解决问题． （2）通过计算只要证明∠AFD=90°即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线 ∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，∵AD=2∴BC=4，
∴△ABC的面积=×4×2
，∴CD=BD=2，
=4
（2）解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下： ∵△ADE是等边三角形 ∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线 ∴AD为∠BAC的平分线（三线合一） ∴∠FAD=∠BAC=×60°=30° ∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90° ∴AB⊥DE
（说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以）
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【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一，属于基础题，中考常考题型．
五、实践与应用（每小题8分，共2小题，满分16分）
23．（8分）（2016秋?娄星区期末）已知北海到南宁的铁路长210千米．动车投入使用后，其平均速度达到了普通火车的平均速度的3倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时．求普通火车的平均速度是多少？（列方程解答） 【考点】分式方程的应用
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时，列方程即可． 【解答】解：设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时， 列方程得解得x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解， 答：普通火车的平均速度是80千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
24．（8分）（2016秋?娄星区期末）张华老师揣着200元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品．他看好了一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本5元，钢笔的单价为每支2元．张老师计划购买两种奖品共50份，求他最多能买笔记本多少本？（列不等式解答） 【考点】一元一次不等式的应用
=
+1.75，
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【分析】根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求出他最多能买笔记本多少本．
【解答】解：设他买笔记本x本， 5x+2（50﹣x）≤200， 解得，x≤
，
即他最多能买笔记本33本．
【点评】本题考查解一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
六、阅读与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．（10分）（2016秋?娄星区期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：
=
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
=
②根据上述思路，试将【考点】二次根式的性质与化简 【专题】阅读型．
【分析】①根据题目中的例子可以解答本题； ②根据题目中的例子可以解答本题． 【解答】解：①===
===|1+|=1+
=
予以化简．
==| 3+ |= 3+ 第 19 页 共 21 页
=|3+=3+
| ，
，3+
；
故答案为：3+②===|5﹣=5﹣
| ．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．（10分）（2016秋?娄星区期末）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为线段BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边向右作正方形ADEF，连接FC，探究：无论点D运动到何处，线段FC、DC、BC三者的长度之间都有怎样的数量关系？请予以证明．
【考点】正方形的性质
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAD≌△FAC，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：无论点D运动到何处，都有BC=FC+DC， 理由如下：
在△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=45°， ∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°，
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