坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?x????x设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:??y????y(??0)(??0)的作用
下,点P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射
线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).
一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数.
特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是
(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
极坐标(?,?) 点M 直角坐标(x,y) 互化公式 ?x??cos? ?y??sin???2?x2?y2 ytan??(x?0)x在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为(r,0),半径为r的圆 圆心为(r, ??r(0???2?) ??2rcos?(??2????2) ?2),半 ?2rsin?(0????) 径为r的圆 过极点,倾斜角为(1)???(??R)或?????(??R) (2)???(??0)和?????(??0) ?的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ?cos??a(??2????2) 过点(a,?2),与极?sin??a(0????) 轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程???,点M(??,)可以表示为44?????5???(,?2?)或(,?2?)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方44444444程???.
二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
?x?f(t)①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,?y?g(t)?那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从