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第十七章 反比例函数
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如y?写成y?kx
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ⑵比例系数k?0
⑶自变量的取值为一切非零实数。 ⑷函数的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
kk（为常数，k?o）的函数称为反比例函数。y?还可以
xxk⑵反比例函数的图像是双曲线，y?（为常数，k?0）中自变量x?0，函数值y?0，
x所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y?x或y??x）。 ⑷反比例函数y?kk（k?0）中比例系数的几何意义是：过双曲线y? （k?0）xx上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为k。 4．反比例函数性质如下表：
的取值 图像所在象限 一、三象限 二、四象限 函数的增减性 在每个象限内，值随的增大而减小 在每个象限内，值随的增大而增大 k?o k?o 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
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6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比
例函数y?k中的两个变量必成反比例关系。 x7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数y?kx2k2?k?2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y?又在第二，四象限内，则k?0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：
k，（k?0）即y?kx（k?0）x1??2k2?k?2??1?k??1或k?解得??2
k?0??k?0?21?k??1时函数y?kx2k?k?2为y??
x1【例2】在反比例函数y??的图像上有三点，，，，， 。若x1?x2?0?x3则下列各式正
x确的是（ ）
A．y3?y1?y2 B．y3?y2?y1 C．y1?y2?y3 D．y1?y3?y2 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得y1??111，y2??，y3??
x3x1x2?x1?x2?0?x3，?y3?y1?y2所以选A
1解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y??的图像
x描出三个点，满足x1?x2?0?x3观察图像直接得到y3?y1?y2选A 解法三：用特殊值法
【例3】如果一次函数y?mx?n?m?0?与反比例函数y?那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】
【例4】 如图，在Rt?AOB中，点是直线y?x?m与双曲线y?3n?m1的图像相交于点（，2），x2m在第一象限的交点，x2 / 5
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且S?AOB?2，则的值是_____.
图
解:因为直线y?x?m与双曲线y? 则有yA?xA?m,yA?m过点,设点的坐标为?xA,yA?. xm.所以m?xAyA. xA 又点在第一象限,所以OB?xA?xA,AB?yA?yA. 所以S?AOB?111OB?AB?xAyA?m.而已知S?AOB?2. 222 所以m?4.
三、练习题
21.反比例函数y??的图像位于（ ）
xA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（） 4.某气球y o x y o x y o x y o x A B C D 内充满了一定质量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
3
5544A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3
44551y5．如图 ，A、C是函数y?的图象上的任意两点，过A作 x垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB
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轴的的面
Ox