2.2.2 换底公式
[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．
[预习导引] 1．对数的换底公式
logcN换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．
logca最常用的换底公式是logaN＝
lg Nln N和logaN＝. lg aln a2．换底公式的两个重要推论 (1)logab＝logab. (2)logab＝
1
. logbamnnm解决学生疑难点___________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________
要点一 利用换底公式求值或化简 例1 求解下列各题： lg 2
(1)化简(log43＋log83)；
lg 3(2)已知log1227＝a，求log616的值． 解 (1)方法一 原式＝?＝?＝
?lg 3＋lg 3?lg 2 ??lg 4lg 8?lg 3
?lg 3＋lg 3?·lg 2 ??2lg 23lg 2?lg 3
lg 3lg 2lg 3lg 2115
·＋·＝＋＝. 2lg 2lg 33lg 2lg 3236
2
3
方法二 原式＝(log23＋log23)·log32
1
155?1?＝?log23＋log23?·log32＝log23·log32＝. 366?2?3lg 3
(2)方法一 由log1227＝a，得＝a，
2lg 2＋lg 33－a∴lg 2＝lg 3. 2a3－a4×2alg 164lg 2
∴log616＝＝＝＝
lg 6lg 2＋lg 33－a1＋2a3
－a. 3＋a方法二 由于log1227＝log123＝3log123＝a， ∴log123＝.
3
33
于是log312＝，即1＋2log32＝.
aaa3－a因此log32＝. 2a而log616＝4log62＝
44＝＝log261＋log23
4
12a1＋1＋log323－a＝
4
＝－a. 3＋a故log616＝
－a.
3＋a规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：
一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．
三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logab＝logab. 对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．
2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用． 跟踪演练1 (1)求值：log89·log2732.
(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
lg 9lg 322lg 35lg 210
解 (1)方法一 log89·log2732＝·＝·＝. lg 8lg 273lg 23lg 39方法二 log89·log2732＝log23·log32 2510＝log23·log32＝. 339
log27log27(2)∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.
log23a
2
32
35
mnnm∴log27＝ab.
log256log28＋log273＋log273＋ab∴log1456＝＝＝＝.
log214log22＋log271＋log271＋ab要点二 利用对数的换底公式证明等式
212abc例2 已知a，b，c均为正数，3＝4＝6，求证：＋＝. abc证明 不妨设3＝4＝6＝m，则m＞0且m≠1， 于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.
111
则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，
abcabc212
于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(3×4)
ab2
＝logm36＝2logm6＝.
c因此等式成立．
规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．
2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明1问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行
logba变换．
跟踪演练2 已知2＝5＝10，求证：m＋n＝mn. 证明 由已知可得m＝log210，n＝log510， 11
因此＝lg 2，＝lg 5，
mnmn11
于是＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
mn即
n＋m＝1，故m＋n＝mn. mn要点三 对数换底公式的综合应用
11ab例3 (1)已知11.2＝1 000,0.011 2＝1 000，求－的值；
ab(2)设logac，logbc是方程x－3x＋1＝0的两根，求logac的值．
b2
解 (1)∵11.2＝1 000，∴lg 11.2＝lg 1 000， 即a·lg 11.2＝3，
aa 3