第2章 对称图形——圆
2.6 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的相关概念
1．如图2－6－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是( ) A．72° B．60° C．54° D．36°
图2－6－1
图2－6－2
2．教材例题变式如图2－6－2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．
3．如图2－6－3，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点． 求证：△ABF≌△BCG.
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图2－6－3
知识点 2 画正多边形 4．画正六边形．
5．[2016·淮安] 如图2－6－4，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.
图2－6－4
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图2－6－5
6．[2017·凉山] 如图2－6－5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________°.
7．如图2－6－6①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.
图2－6－6
(1)求图①中∠APB的度数．
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________． (3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
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详解详析
1．A [解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠AOB＝360°÷5＝72°.
2．3 3
3．证明：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD. ∵F，G分别是BC，CD的中点， 11
∴BF＝BC，CG＝CD，∴BF＝CG.
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在△ABF和△BCG中，
∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCG，BF＝CG， ∴△ABF≌△BCG.
4．[解析] 画正六边形的途径有两种，一种是用量角器将圆六等分；另一种是用圆规和直尺将圆六等分．
解： (方法一)用量角器将圆六等分(略)． (方法二)用直尺和圆规将圆六等分． 作法：1.在⊙O中任意作一条直径AD；
2．分别以点A，D为圆心，⊙O的半径为半径画弧，与⊙O相交于B，F和C，E； 3．依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF就是所求作的正六边形． 5．75 [解析] 设该正十二边形外接圆的圆心为O，如图，连接A10O和A3O.
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由题意知，
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∴∠A3OA10＝×360°＝150°，
12∴∠A3A7A10＝75°.
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的长度＝⊙O的周长，
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6．72 7．．解：(1)∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在圆周上逆时针运动， ∴∠BAM＝∠CBN. 又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°， ∴∠APB＝120°. (2)90° 72°
(3)能推广到一般的正n边形的情况．
问题：正n边形ABCD…内接于⊙O，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求∠APB的度数．
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