三角函数值域的求法
第二课时
【教学目标】
1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；
2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域
【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域
知识回顾 求下列函数的值域 1 y?sinx?cosx2 y?2cos2x?23sinxcosx3 y?2-sinx2+sinx?x?[??2,2]x?[0,?]问题：求函数的值域 例1
y?2-sinx2+cosx? 方法1（利用函数的有界性）
又sin(x??)?1即解：y?2?sinx可化为2?cosx sinx?ycosx?2?2y2?2yy2?12?2yy?12即y2?1sin(x??)?2?2y sin(x??)??14?74?7?y?，33?4?74?7?故所求函数的值域为：，??33??方法2（运用模型、数形结合）
解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k的最大、最小值设切线PA的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：d=2k-24-74?7?1即3k2?8k?3?0解得：?k?
1?k23故所求函数的值域为： ??4?74?7??3，3??2 求下列函数的值域 例2:y?cos2x?sinx且x??3
解：y?cos2x?sinx可化为 y??sin2x?sinx?1 ??(sinx?1)25 2?4 又x??
3 ?-3?sin3
2x?2 即1-235
4?y?4
故原函数的值域为[1-234,54]例
4: y=sinx+cosx+sinxcosx解：设sinx?cosx=t即t=2sin(x??)
4??2?t?2又
sinx?cosx=t可化为1+2sinxcosx=t2即 sinxcosx?t2?12原函数可化为 f(t)?t?t2?12(?2?t?2) ?12(t?1)2?1 又?2?t?2
??1?y?2?12原函数的值域为[-1,2?12]3例3：y=sin2xcosx1?cosx解：1-cosx?0 ? cosx?1又sin2xcosx1?cosx =2sin2xcosx1?cosx2cosx(1?cos2 ?x)1?cosx ?2cosx(1?cosx) ?2(cosx?112)2?2又-1?cosx<1 ??12?y?4故原函数的值域为[?12,4]思考题 求函数y=cos2x+(1-a)sinx的最大值小结:求三角函数的值域问题，主要有以下几种
(1)y?asinx?bcosx型，可用辅助角转化为by?a2?b2sin(x??)(tan??)a asinx?bacosx?b(2)y?(y?)型，csinx?dccosx?d
可用分离常数法或由sinx?（1cosx?1）来解。 （3）y?asinx?b型，可以利用函数ccosx?d1cosx?1）,也可用几何意义来解。 sinx?（ 二次函数，(也包括sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx同时存在）作业
1.求函数y?2?cosx的值域。（两种方法）3?sinx（4）y?asin2x?bcosx?c型，可化为 2.当x?[??,0]时，求函数f(x)?2cos(x??)?1sin2x42 的值域，并求取最值时x的值
3.求当x?[??2?3,3]时，函数y?cos2x?asinx的最大值。