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莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。
設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP的角平分线。
莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了
为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。
接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、 F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD＝FE＝ED＝EH。
下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。
为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。
看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。
△PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。等腰三角形△PFE的顶角大小为： ∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC……………………………（1）
∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC…………………… （2）
∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC………………………… （3）
最后得到：∠FGE=∠FEG=1/2(π-∠GFE)=1/3∠BAC…（4）同理可证：∠FHE=∠HFE=1/3∠BAC……………（5）
至此可知G,H,E,F，A五点共圓。
因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC…（6）
即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。
蝴蝶定理：AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：MS=NS。
证明（一）
过O作OL⊥AD，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST 容易证明△ESD∽△CSF 所以ES/CS＝ED/FC
根据垂径定理得：LD＝ED/2，FT＝FC/2 所以ES/CS＝EL/CT 又因为∠E＝∠C 所以△ESL∽△CST 所以∠SLN＝∠STM
因为S是AB的中点 所以OS⊥AB 所以∠OSN＝∠OSN＝90° 所以∠OSN+∠OSN＝180°
所以O，S，N，L四点共圆 同理O，T，M，S四点共圆 所以∠STM＝∠SOM，∠SLN＝∠SON 所以∠SON＝∠SOM ， 因为OS⊥AB 所以MS＝NS
证明（二） 从
向
和
作垂线，设垂足分别为
和
和
。类似地，从
向
和
作垂线，设垂足分别为
。现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
由于PM=MQ 现在，
因此，我们得出结论：
，也就是说，
是
的中点。
清宫定理 ：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、
AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上
证明 设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F
这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系：
将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点
从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果P、Q两点重合，清宫定理就成为西摩松定理。
我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上，