(京津专用)高考数学总复习 优编增分练:压轴大题突破练(四)函数与导数(2)理

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(四)函数与导数(2)

1.(2018·江西省重点中学协作体联考)已知f(x)=e,g(x)=x+ax-2xsin x+1. 1x(1)证明:1+x≤e≤(x∈[0,1));

1-x(2)若x∈[0,1)时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. (1)证明 设h(x)=e-1-x,则h′(x)=e-1,

故h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 从而h(x)≥h(0)=0,即e≥1+x. 1-xx而当x∈[0,1)时,e≥1-x,即e≤. 1-x(2)解 设F(x)=f(x)-g(x) =e-(x+ax-2xsin x+1), 则F(0)=0,

x2

x2

xxxF′(x)=ex-(2x+a-2xcos x-2sin x).

要求F(x)≥0在[0,1)上恒成立,必须有F′(0)≥0. 即a≤1.

以下证明:当a≤1时,f(x)≥g(x). 只要证1+x≥x+x-2xsin x+1, 只要证2sin x≥x在[0,1)上恒成立. 令φ(x)=2sin x-x,

则φ′(x)=2cos x-1>0对x∈[0,1)恒成立, 又φ(0)=0,所以2sin x≥x,从而不等式得证. 2.(2018·宿州质检)设函数f(x)=x+axln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)的极大值点为x=1,证明:f(x)≤e+x. (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+aln x+a, 当a=0时,f(x)=x,

则函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

-x2

2

马明风整理

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当a>0时,由f′(x)>0得x>e由f′(x)<0得0

.

a?1??所以f(x)在区间?0,ea??上单调递减, ?在区间??ea?1a,+∞?上单调递增;

?a?1a?

当a<0时,由f′(x)>0得0e?a?1a,

a?1a?所以函数f(x)在区间??0,e?在区间??ea?1a?上单调递增, ?

,+∞?上单调递减.

?

综上所述,当a=0时,

函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

?当a>0时,函数f(x)在区间??0,ea?1a?上单调递减, ?

a?1??在区间?ea,+∞??上单调递增; ?当a<0时,函数f(x)在区间??0,e?在区间??ea?1aa?1a?上单调递增, ?

,+∞?上单调递减.

?a?1a?

(2)证明 由(1)知a<0且e=1,

解得a=-1,f(x)=x-xln x. 要证f(x)≤e+x, 即证x-xln x≤e+x, e

即证1-ln x≤+x.

-x-x2

-x2

xe

令F(x)=ln x++x-1(x>0),

-xx1-ex-e

则F′(x)=++1 2

-x-xxx?x+1??x-e?=. 2

-xx令g(x)=x-e,

得函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

-x马明风整理

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1

而g(1)=1->0,g(0)=-1<0,

e

所以在区间(0,+∞)上存在唯一的实数x0, 使得g(x0)=x0-e即x0=e-x0-x0=0,

且x∈(0,x0)时,g(x)<0,x∈(x0,+∞)时,g(x)>0. 故F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. ∴F(x)min=F(x0)=ln x0 +又e-x0e-x0x0

+x0-1.

=x0,

∴F(x)min=ln x0+e-x0x0

+x0-1

=-x0+1+x0-1=0. ∴F(x)≥F(x0)=0成立, 即f(x)≤e+x成立.

3.(2018·皖江八校联考)已知函数f(x)=

-x2

ax2+x+a2e

x. 5

(1)若a≥0,函数f(x)的极大值为,求实数a的值;

2e(2)若对任意的a≤0,f(x)≤解 (1)由题意,

bln?x+1?

2

在x∈[0,+∞)上恒成立,求实数b的取值范围.

f′(x)=[(2ax+1)e-x-(ax2+x+a)e-x]

1-x2

=-e[ax+(1-2a)x+a-1]

21-x=-e(x-1)(ax+1-a).

2

1-x①当a=0时,f′(x)=-e(x-1),

2令f′(x)>0,得x<1;令f′(x)<0,得x>1,

所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以f(x)的极大值为f(1)=1

②当a>0时,1-<1,

15

≠,不合题意. 2e2e

12

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