高中数学常见题型解法归纳 - 充要条件的判断方法
【知识要点】
一、充分条件、必要条件和充要条件的概念
已知命题p是条件，命题q是结论
1、充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了. 如：x?3是x?4的充分条件.
2、必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件.
如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶.但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足
f(?x)?f(x)才是偶函数，满足f(?x)??f(x)是奇函数.
3、充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 二、判定充要条件的步骤
首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断. 如：命题p是命题q成立的必要条件，则命题p是条件，命题q是结论. 又如：命题p成立的充分条件是命题q，则命题q是条件，命题p是结论. 三、判定充要条件常用的方法
1.定义法；2.集合法；3.转化法. 【方法讲评】
方法一 使用情景 解题步骤 定义法 命题的结论与范围无关. 首先分清条件和结论，然后利用充要条件的定义从充分性和必要性两个方面探究. 【例1】“a?1”是“函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数”的 条件.
当a?1时，f(x)?|x?1|在区间[1,??)上显然为增函数，即命题为真，所以a?1?函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数，所以“a?1”是“函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数”的充分条件.
【点评】(1)充要条件的判断一定要从充分性和必要性两个方面来研究考虑.(2)命题真假的判断往往需要结合其他知识和概念进行逻辑推理，特别是要推断某个命题是真命题时，逻辑推理的过程必须是详细且严密的，但要推断某个命题是假命题时，可以通过举一个反例来说明，不必要进行严格论证.本题中说明它的必要性时，也可以举一个反例，如a?0,就可以说明函数f(x)?|x?a|在区间[1,??)上为增函数
a?1.
【反馈检测1】m??1是直线mx?(2m?1)y?1?0和直线3x?my?3?0垂直的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法二 使用情景 集合法 命题的结论与范围有关. 首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p、q和集合A、B的对应关系.p:A?{x|p(x)成立}，q:B?{x|q(x)成立}；最后利用下面的结论判断：（1）解题步骤 若A?B,则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分非必要条件；（2）若B?A,则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要非充分条件；（3）若A?B且B?A，即A?B时，则p是q的充要条件. 【例2】“x?2”是“ x2?2x?0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【点评】题目条件中的两个命题在判断相互推出关系时，比较抽象，不利于掌握，转化成集合包含关系的判断后，问题变得具体了，很容易判断.
【反馈检测2】2x2?5x?3?0的一个必要不充分条件是 （ ） A．? 方法三 使用情景 解题步骤 转化法 命题的结论中有否定的概念或不宜用前面的方法判断. 首先分清条件和结论，然后判断它的逆否命题的充要性. 111?x?3 B．??x?0 C．?3?x? D．?1?x?6 222【例3】若p：x≠2，或y≠3，q：x?y≠5，则p是q的___________条件.
【解析】由于原命题和它的逆否命题的真假性是等价的，所以可以转化为考虑它的逆否命题的真假性.考虑逆否命题：┑q：x?y?5，┑p：x?2，且y?3，显然有┑p?┑q，但是?q不能推出?p，所以?q是?p的必要非充分条件，即p是p的必要但不充分条件.
【点评】(1)由于原命题中有“≠”和“或”等概念，所以判断起来，学生不是很好判断，但是转化成它的逆否命题后，就好判断多了.(2)策略的选择对于数学来说，是很重要的，所以学生要积累这些好的方法，提高学习效率.
【反馈检测3】“?x?1??y?2??0”是“x?1或y?2”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案
【反馈检测1答案】A