2020
第二课 圆锥曲线与方程
[核心速填]
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 双曲线 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距定义 数(小于|F1F2|)的点的轨迹 离相等的点的轨迹 标准方程 xyyx2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0) ababa2－b2＝c2 封闭图形 2222x2y2y2x22222－2＝1或2－2＝1(a>0，y＝2px或y＝－2px或xabab2＝2py或x＝－2py(p>0) b>0) a2＋b2＝c2 无限延展，但有渐近线y＝ 关系式 图形 ba±x或y＝±x ab|x|≥a或|y|≥a 无限延展，没有渐近线 变量范围 对称性 顶点 离心率 |x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b 对称中心为原点 两条对称轴 四个 x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴 两个 一个 ce＝，且0
x2y2x2y2by2x2
渐近线的方程．如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线2－2＝ababaaby2x2a1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.
abbxyx2y2
(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)．
abab3．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
[体系构建]
2222
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[题型探究]
圆锥曲线的定义及应用 (1)已知动点M的坐标满足方程5x＋y＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 C．抛物线
B．双曲线 D．以上都不对
2
.过F1的直线l交C2
22(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.
【导学号：97792110】
[解] (1)把轨迹方程5x＋y＝|3x＋4y－12|写成x＋y＝
2
2
2
2
|3x＋4y－12|
.
5
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
x2y2
(2)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|
ab＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝
ca2222
，∴c＝22，∴b＝a－c＝8， 2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
168[答案] (1)C (2)＋＝1
168
[规律方法] “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
x2y2
x2y2
2020 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． [跟踪训练] 1．点P是抛物线y＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．
[解] 抛物线y＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM||PD|.
如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
9?9?此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是?，3?. 8?8?
2
2
的坐标是(2,3)，求
距离等于它到准线x＋|PF|＝|PM|＋
圆锥曲线的方程 1 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
2A.＋＝1 34C.＋＝1 42
2
x2y2x2y2
B.＋＝1 43D.＋＝1 43
x2y2
x2y2
x2y2
(2)已知抛物线y＝8x的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲
ab线的方程为________．
c＝1??
[解析] (1)由题意得?c1
＝??a2
2
2
2
，解得?
??a＝2??c＝1
2
，
则b＝a－c＝3，故椭圆方程为＋＝1.
43
x2y2
c＝2??
(2)由题意得?c＝2??a
22
??a＝1
，解得?
?c＝2?
，则b＝c－a＝3，
22
因此双曲线方程为x－＝1.
3[答案] (1)D (2)x－＝1
3
y2
y2