江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数
一、填空题
1 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数f(x)?2f?(1)lnx?x,则f(x)的极大
值为________.
【答案】2ln2?2
2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数f(x)?x3?2ex2?mx?lnx,
记g(x)?f(x),若函数g(x)至少存在一个零点,则实数m的取值范围是______. x1
e
【答案】(??,e2?]3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数
f(x)?ax3?bx2?cx?d,定义y?f''(x)是函数y?f'(x)的导函数.若方程f''(x)?0有实数解x0,
则称点(x0,f(x0))为函数y?f(x)的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数g(x)?2x3?6x2?3x?2?2013sin(x?1), 则 g(?2011)?g(?2010)?…?g(2012)?g(2013)的值为_______________.
【答案】4025 二、解答题
142324 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数f?x???x?x?ax?2x?243在区间??1,1?上单调递减,在区间?1,2?上单调递增. (1)求实数a的值;
x(2)若关于x的方程f?2??m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围; (3)若函数y?log2?f?x??p?的图像与x轴无交点,求实数p的取值范围.
【答案】解:(1)由 f'?1??0?a?1经检验符合 ;(不写检验扣1分) 2(2)f'?x????x?1??x?1??x?2?易知函数在???,?1??,??1,1???1,2???2,???? 所以,函数有极大值f??1???5837,f?2???,有极小值f?1???, 12312?378?,??; 结合图像可知:m????123?(3)若函数y?log2?f?x??p?的图像与x轴无交点,则必须有
??f?x??p?max?0?f?x??p?0有解,即 ????fx?p?1无解??1不在y?fx?p的值域内??
而?f?x??p?max??55??p,函数y?f?x??p的值域为???,??1212??p? ?[来源:学*科*网]
?5??p?0?517?12所以有:?,解之得:?p?
1212?1??5?p?12?5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R).
(1)当a＞0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y?f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45?,且函数
1g(x)?x2?nx?mf?(x)(m，n?R)当且仅当在x?1处取得极值,其中f?(x)为f(x)的导函数,求m的
2取值范围;
(3)若函数y?f(x)在区间(，3)内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互 垂直,求a的取值范围.
【答案】解:(1)f?(x)?13a(1?x)(x＞0), x[来源:学科网]
当a＞0时,令f?(x)＞0得0＜x＜1,令f?(x)＜0得x＞1,
??); 1)，单调减区间为(1，故函数f(x)的单调增区间为(0，(2)函数y?f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45?,
则f?(2)?1,即a??2;
2mx3?nx2?2m122， 所以g(x)?x?nx?m(2?)，所以g?(x)?x?n?2?xx22x因为g(x)在x?1处有极值,故g?(1)?0,从而可得n??1?2m,
x3?nx2?2m(x?1)(x2?2mx?2m)?，又因为g(x)仅在x?1处有极值, 则g?(x)?x2x2??)上恒成立, 所以x2?2mx?2m≥0在(0，??),使得x02?2mx0?2m＜0, 当m＞0时,由?2m＜0,即?x0?(0，所以m＞0不成立,故m≤0,
??)时,x2?2mx?2m≥0恒成立, 又m≤0且x?(0，所以m≤0;
(注:利用分离变量方法求出m≤0同样给满分.) (3)由f?(x)?a(1?x)??)分别为f(x)的两个不同的单调区间, 1)与(1，(x＞0)得(0，x因为f(x)在两点处的切线相互垂直,
所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内
(x2,f(x2))，其中＜x1＜1＜x2＜3, 故可设存在的两点分别为(x1,f(x1))，13
由该两点处的切线相互垂直,得
a(1?x1)a(1?x2)???1, x1x2即
1?x1x1?x1x11??2?2,而?(0，2),故?2?2?(0，2), x1a1?x2x1a1?x22222a2可得(2a?1)x2＞2a,由x2＞0得2a?1＞0,则x2＞2,
2a?12a23＜3,即a2＞， 又1＜x2＜3,则22a?1433?)(，??) 所以a的取值范围为(??，226 ．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知函数f(x)?ax?lnx,x?(1,e),且f(x)有极值.
(1)求实数a的取值范围; (2)求函数f(x)的值域.
【答案】解:(1)由f(x)?ax?lnx求导可得:f'(x)?a?1 x11111?0,可得a??∵x?(1,e),∴??(?1,?) ,∴a?(?1,?) xx,xee又因为x?(1,e)
111x (1,?) ? (?,e) aaa所以,f(x)有极值 所以,实数
f'(x)+ 0 — 1单调递极大单调递f(x) a的取值范围为(?1,?).
增 值 减 e11(2)由(Ⅰ)可知f(x)的极大值为f(?)??1?ln(?)
aa令f'(x)?a?又∵ f(1)?a,f(e)?ae?1 由a?ae?1,解得a?∴当?1?a?111 又∵?1??? 1?e1?ee11?e时,函数f(x)的值域为(ae?1,?1?ln(?1)] a当
111?a??时,函数f(x)的值域为(a,?1?ln(?)]. 1?eea7 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知函数
f(x)?(ax2?x)ex,其中
e是自然数的底数,a?R.
(1) 当a?0时,解不等式f(x)?0;
(2) 若f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求a的取值范围;