2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第九章 第8讲 第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在

第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

圆锥曲线中的定值问题(师生共研)

(2018·高考北京卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线

l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围;

11→→→→

(2)设O为原点,QM=λQO,QN=μQO,求证:+为定值.

λμ【解】 (1)因为抛物线y2=2px过点(1,2), 所以2p=4,即p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x.

由题意知,直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).

2??y=4x,由?得k2x2+(2k-4)x+1=0. ??y=kx+1

依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0, 解得k<0或0

所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2). 2k-41由(1)知x1+x2=-2,x1x2=2.

kky1-2

直线PA的方程为y-2=(x-1).

x1-1

-y1+2-kx1+1

令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2.

x1-1x1-1

-kx2+1

同理得点N的纵坐标为yN=+2.

x2-1→→→→

由QM=λQO,QN=μQO得λ=1-yM,μ=1-yN. 1111所以+=+

λμ1-yM1-yN=

(k-1)x1(k-1)x2

x1-1

x2-1

12x1x2-(x1+x2)=·

x1x2k-122k-4+2

k1k2

=·=2.

1k-1

k211

所以+为定值.

λμ

求圆锥曲线中定值问题常用的方法

(1)引起变量法:其解题流程为 变量→选择适当的量为变量 ↓

函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓

定值→把得到的函数化简,消去变量得到定值

(2)特例法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

x2y2

(2020·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为

ab

18,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点,AF2⊥F1F2,且|AF2|=. 33

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m与l1,l2分别交于M,N两点,求证:∠MF1N为定值.

8b28

解:(1)由AF2⊥F1F2,|AF2|=,得=.

3a3

c1

又e==,a2=b2+c2,所以a2=9,b2=8,

a3x2y2

故椭圆C的标准方程为+=1.

98

(2)证明:由题意可知,l1的方程为x=-3,l2的方程为x=3.

直线l分别与直线l1,l2的方程联立得M(-3,-3k+m),N(3,3k+m), →→

所以F1M=(-2,-3k+m),F1N=(4,3k+m), →→

所以F1M·F1N=-8+m2-9k2. xy??9+8=1,联立?

??y=kx+m,

得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0. 因为直线l与椭圆C相切,

所以Δ=(18km)2-4(9k2+8)·(9m2-72)=0, 化简得m2=9k2+8.

→→

所以F1M·F1N=-8+m2-9k2=0, →→所以F1M⊥F1N, π

故∠MF1N为定值.

2

圆锥曲线中的定点问题(师生共研)

x2y2

(2020·安徽省考试试题)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的上顶点为P,右顶点为Q,

ab

24?4

直线PQ与圆x2+y2=相切于点M??5,5?. 5

(1)求椭圆C的方程;

→→

(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且PA·PB=0,求证:直线l过定点. 【解】 (1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM=2,则直线PQ的斜率kPQ=-1=-, kOM2

241

x-?, 所以直线PQ的方程为y-=-?52?5?1

2

2

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