第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
圆锥曲线中的定值问题(师生共研)
(2018·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线
l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
11→→→→
(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．
λμ【解】 (1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)， 所以2p＝4，即p＝2. 故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
2??y＝4x，由?得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. ??y＝kx＋1
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0， 解得k<0或0 所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)． (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2k－41由(1)知x1＋x2＝－2，x1x2＝2. kky1－2 直线PA的方程为y－2＝(x－1)． x1－1 －y1＋2－kx1＋1 令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2. x1－1x1－1 －kx2＋1 同理得点N的纵坐标为yN＝＋2. x2－1→→→→ 由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN. 1111所以＋＝＋ λμ1－yM1－yN＝ ＋ （k－1）x1（k－1）x2 x1－1 x2－1 12x1x2－（x1＋x2）＝· x1x2k－122k－4＋2 k1k2 ＝·＝2. 1k－1 k211 所以＋为定值． λμ 求圆锥曲线中定值问题常用的方法 (1)引起变量法：其解题流程为 变量→选择适当的量为变量 ↓ 函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓ 定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值 (2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． x2y2 (2020·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为 ab 18，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝. 33 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值． 8b28 解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝. 3a3 c1 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8， a3x2y2 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 98 (2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3. 直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3，3k＋m)， →→ 所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4，3k＋m)， →→ 所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2. xy??9＋8＝1，联立? ??y＝kx＋m， 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0. 因为直线l与椭圆C相切， 所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9m2－72)＝0， 化简得m2＝9k2＋8. →→ 所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0， →→所以F1M⊥F1N， π 故∠MF1N为定值. 2 圆锥曲线中的定点问题(师生共研) x2y2 (2020·安徽省考试试题)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点为P，右顶点为Q， ab 24?4 直线PQ与圆x2＋y2＝相切于点M??5，5?. 5 (1)求椭圆C的方程； →→ (2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且PA·PB＝0，求证：直线l过定点． 【解】 (1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM＝2，则直线PQ的斜率kPQ＝－1＝－， kOM2 241 x－?， 所以直线PQ的方程为y－＝－?52?5?1 2 2