4.6本章习题全解
4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：t为变量，其它参数为常量）。 （1）
1a(1?e?at)u(t) （2）e?tu(t?2) （3）e?t?u(t)?u(t?2)? （4）1tss?s1e?s1?ss2e?2t?u(t) 1?2（5）
1????e??t?e??t?u(t) （6）te?tu(t) （7）
1t?e?3t?e?4t?u(t) （8）1t?1?e?at?u(t) （9）e?tsin2tu(t) （10）?sint?2cost?u(t)
（11）1sinatu(t) （12）t2tcos2tu(t) （13）
?1?cos?t?e??tu(t) （14）e?t?2u(t?2)
（15）sintu(t?2) （16）e??tsin(?t??)u(t)
（17）tcos33tu(t) （18）e?tax??t??a??
?t（19）e?atx??t??a?? （20）eax?at?u(t)
（21）e?(t?a)cos?0tu(t) （22）2?(t)?3e?7tu(t)
（23）2?(t?t0)?3?(t) （24）?t3?t2?t?1?u(t)
解：
(1)L[1a (1-e-at) u(t)] ?1s(s?a)
（2）L{e?tu(t?2)}?1s?1e?2(s?1) ?2(s?1)（3）
L{e?t[u(t)?u(t?2)]?1?es?1
（4）
L{1(sss1e?1t?s2e?s2ts)u(t)}?
1?s2(s?s1)(s?s2)（5）
L{1???（e??t?e??t）u(t)}?1(s??)(s??)
1
（6）
L{te?tu(t)}?1(s?1)2
（7） L{1(e?3t?e?4ts?3t)u(t)}??lns?4 （8）
L{1t(1?e?at)u(t)}??lnss?a （9）
L{e?tsin2tu(t)}?2(1?s)2?5 （10） L{(sint?2cost)u(t)}?2s?1s2?1 （11）
L{1tsinatu(t)}??s2?arctana （12）
L{t2cos2tu(t)}?2s(s2?12)(s2?4)3 （13）
L（{1?cos?t）e??tu(t)}?1s??s???(s??)2?a2（14）
L{e?t?2e?2su(t?2)}?s?1
?2s(15)
L{sintu(t?2)}?es2?1(ssin2?cos2)
(16)
L{e?atsin(?t??)u(t)}??cos??(s?a)sin?(s?a)2??2
(17)
L{tcos33tu(t)}?1s2?9s2?814（[s2?9）2?(s2?81)2] ?t(18)
L{eax(ta)}?aX(as?1) (L{x(t)}?X(s))
(19)
L{e?atx(ta)}?aX[a(s?a)]
(20)
L{e?tax(at)u(t)}?1aX(as?1a2) (21)
L{e-(a?t)coswas?10tu(t)}?e?(s?1)2?w2
0 2
（22） L{2?(t)?3e?7tu(t)}?2?3s?7 （23）
L{2?(t?t0)?3?(t)}?2e?t0s?3
（24）
L{(t3?t2?t?1)u(t)}?6s4?211s3?s2?s 4.2 已知L?x(t)??1s2?2s?5，求下列信号的拉普拉斯变换。
（1）
?t0x(?)d? （2）x(t)cos?0t
（3）x(2t?4) （4）
x(t)t （5）td2x(t)dt
解：（1）L?tX(s)???0x(?)d?????s?1s(s2?2s?5) （2）
L?x(t)cos?0t??12L??x(t)(ej?0t?e?j?0t)???12?L??x(t)ej?0t???L??x(t)e?j?0t????12?X(s?j?0)?X(s?j?0)??1?11?2??(s?j??2(s?j???2(s?j??0)20)?5(s?j?0)20)?5?（3）L?x(2t)??1?2X?s??2?? L?x(2t?4)??L?x(2(t?2))??1?s??2X?2s?2??e?112?s?2e?2s?2 ?s2?4s?20e?2s?2???2s2?5（4）
L??x(t)????t????1?1sX(s)ds??ss2?2s?5ds??s(s?1)2?4ds?1?
2arctans2???1arctanss422 3