量 子 力 学 习 题
（三年级用）
北京大学物理学院
二OO三年
第一章 绪论
1、计算下列情况的de?Broglie波长，指出那种情况要用量子力学处理：
（1）能量为0.025eV的慢中子
??n?1.67?10?24克；被铀吸收； ?6.64?10?24克；
?（2）能量为5MeV的a粒子穿过原子?a（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
3、利用de可能值。
?Broglie关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量
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第二章 波函数与波动力学
1、设??x??1?a2x2Ae2?a为常数?
（1）求归一化常数 （2）x??,px??.
1ikr1?ikr2、求?1?e和?2?e的几率流密度。
rr3、若??Aekx?Be?kx,求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结
??论？（其中k为实数）
4、一维运动的粒子处于
?Axe??x??x???0?x?0x?0
的状态，其中??0,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证
????0
其中??j/?
6、一维自由运动粒子，在t?0时，波函数为 ??x,0????x?
求：
?(x,t)??
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第三章 一维定态问题
1、粒子处于位场
?0V???V02、一粒子在一维势场
x?0x?0?V0?0?
中，求：E＞V0时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）
V(x)中运动。
?????0???x?00?x?a x?0（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于?n(x)态，证明：x?a/2,
?x?x?
2a2?6???1?22?. 12?n??
3、若在x轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为
如
C?S11A?S12DB?S21A?S22D
这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
3
S11证明：S2122?S12?S2222?1?1
S11S12??S21S22??0这表明S是么正矩阵
4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数
???V?X???0?V?05、求粒子在下列位场中运动的能级
x?00?x?a x?a???V?X???122??x??26、粒子以动能E入射，受到双?势垒作用
x?0x?0
V?x??V0??(x)??(x?a)?
求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态，
V1(x)12?kx2k?0
（1）若弹性系数k突然变为2k，即势场变为
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