精品解析:【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学(理)试题(原卷版)

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A. 6,3 B. 5,2 C. 4,5 D. 2,7 【答案】A

【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点

处取得最大值.故选A.

11. 已知在正四面体的余弦值为( ) A.

B.

C.

中,是棱的中点,是点在底面内的射影,则异面直线与所成角

D.

【答案】B

【解析】

如图,设正四面体的棱长是1,则则

,所以

,高,设点在底面内的射影是,

,应选答案B。

即为所求异面直线所成角,则

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点睛:解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义,先找出异面直线所成的角

12. 已知范围是( )

,再运用解直角三角形的知识求出

,其中

,若函数

,从而使得问题巧妙获解。

在区间

内没有零点,则的取值

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】,,故,或,解得或.故选D.

【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得的取值范围.

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13. 如图,在半径为2的扇形__________.

中,

,为弧

上的一点,若

,则

的值为

【答案】【解析】因为

,所以

)内随机选取两个数,则这两个数之积小于的概率为

以O为坐标原点,OA为x轴建系,则14. 若从区间__________. 【答案】

(为自然对数的底数,

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【解析】设,由,得,所以所求概率.

点睛:

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.

(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率. 15. 已知在

中,角,,的对边分别为,,,则下列四个论断中正确的是__________.(把你认

为是正确论断的序号都写上) ①若②若

,则,

,则满足条件的三角形共有两个;

成等比数列,则,则

.

为正三角形;

③若,,成等差数列,④若

的面积

【答案】①③

【解析】对于①,由正弦定理得

解得

,即

,故

,所以正确.对于②,由余弦定理得

,而

,所以

,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得

为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有

钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确.

,此时角应该对应两个解,一个

【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查解三角形解的个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的

数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为

角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性. 16. 设椭圆的两个焦点是,,过点的直线与椭圆交于,两点,若则椭圆的离心率为__________. 【答案】

【解析】画出图形如下图所示。

,且

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由椭圆的定义可知:∵∴∵∴

,∴。 ,

,∴

在中,由余弦定理可得:,

在中,由余弦定理可得:。

∵∴∴

,整理得

,∴

。 答案:。

点睛:本题考查椭圆的离心率的求解,解决问题的关键是画出图形,由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理,分别在

中得到关于a和c的等式;然后由

可得

,综合两式可得

学生由较高的处理数据的能力。

,进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大,需要

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知数列(1)求数列(2)求数列【答案】(1)

的前项和满足的通项公式; 的前项和.

.(2)

. .

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【解析】【试题分析】(1)利用项和. 【试题解析】 (1)当当即所以

(2)由(1)得

时,

.又因为

.

,所以

, ②

时,

,所以,则,所以数列

求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前

是以1为首项,3为公比的等比数列,

, ①

②①,得 ,

所以.

18. 如图,在四棱柱中,底面是梯形,,侧面为菱形,.

(1)求证:(2)若面

. ,

,在平面

内的射影恰为线段

的中点,求平面

与平

所成锐二面角的余弦值.

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