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A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7 【答案】A
【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点
处取得最大值.故选A.
11. 已知在正四面体的余弦值为（ ） A.
B.
C.
中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角
D.
【答案】B
【解析】
如图，设正四面体的棱长是1，则则
，所以
，高，设点在底面内的射影是，
，应选答案B。
即为所求异面直线所成角，则
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点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线所成的角
12. 已知范围是（ ）
与
，再运用解直角三角形的知识求出
，
，其中
，若函数
，从而使得问题巧妙获解。
在区间
内没有零点，则的取值
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,故,或,解得或.故选D.
【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得的取值范围.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 如图，在半径为2的扇形__________．
中，
，为弧
上的一点，若
，则
的值为
【答案】【解析】因为
,所以
）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为
以O为坐标原点,OA为x轴建系，则14. 若从区间__________． 【答案】
（为自然对数的底数，
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【解析】设，由，得，所以所求概率．
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 15. 已知在
中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认
为是正确论断的序号都写上） ①若②若
，
，则，
；
，则满足条件的三角形共有两个；
，
，
成等比数列，则，则
.
为正三角形；
③若，，成等差数列，④若
，
，
的面积
【答案】①③
【解析】对于①,由正弦定理得
解得
,即
,故
,所以正确.对于②,由余弦定理得
,而
,所以
,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得
为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有
钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确.
,此时角应该对应两个解,一个
【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查解三角形解的个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的
数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为
角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性. 16. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若则椭圆的离心率为__________． 【答案】
【解析】画出图形如下图所示。
，且
，
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由椭圆的定义可知：∵∴∵∴
，∴。 ，
，∴
。
，
。
在中，由余弦定理可得：,
在中，由余弦定理可得：。
∵∴∴
,整理得
，∴
，
，
。 答案：。
点睛：本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理，分别在
和
中得到关于a和c的等式；然后由
可得
，综合两式可得
学生由较高的处理数据的能力。
，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大，需要
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列（1）求数列（2）求数列【答案】（1）
的前项和满足的通项公式； 的前项和.
.（2）
. .
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【解析】【试题分析】(1)利用项和. 【试题解析】 （1）当当即所以
（2）由（1）得
时，
.又因为
.
，所以
， ②
时，
，所以，则，所以数列
；
求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前
，
是以1为首项，3为公比的等比数列，
， ①
②①，得 ，
所以.
18. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.
（1）求证：（2）若面
. ，
，在平面
内的射影恰为线段
的中点，求平面
与平
所成锐二面角的余弦值.
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