线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
相信自己加油
bcca abyx?yyx1
a01（1）?4?1； （2）bc?183111xbc； （4）y（3）aa2b2c2x?212解 注意看过程解答（1）
x?yxy.
01?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8
?183?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) =?24?8?16?4 =?4
abc（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc
cab?3abc?a3?b3?c3
（3）
1aa21bb21c?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 c2?(a?b)(b?c)(c?a)
x（4）
yx?yxx?yxy
yx?y?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n耐心成就大业
?1) 2 4 … (2n)；
（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
n(n?1)（5）逆序数为：
23 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
（6）逆序数为n(n?1)
3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …
(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …
(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个
3.写出四阶行列式中含有因子
a11a23的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为
(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3
已固定，
p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
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4.计算下列各行列式：
?4?1（1）??10??0??ab?（3）bd???bf解
多练习方能成大财
24??214?3?1202??； （2）??12320???17??5061?aacae???1b?cdde?； （4）???0?1cf?ef???0?01?1??； 2??2?00?10?? c1???1d?41(1)
1004=1101244?12202c2?c31520c4?7c310300117?1?1022?(?1)4?3 3?142?1002
2?14109910?110c2?c3=00?2=0 2?21c1?2c31717141031441
213?1(2)
1250r4?r2423611c4?c222213?11250r4?r142360202
213?11221ac?cdcf4234aede0200
213?11200cee?e
42300200=0
?ab(3)
?b=adfbdbfbb?cc
?ef?1=adfbce1111?11=4abcdef1?1a100?1b10r1(4)
0?1c100?1d1?ab2?1?1=(?1)(?1)0=
5.证明:
0?ar2?11?abb?10c3?dc2a1c001
00ac01
?1d?1d1?abaad?1c1?cd0?10
(?1)(?1)3?21?abad=abcd?ab?cd?ad?1
?11?cda2abb2(1)2aa?b2b=(a?b)3;
111ay?bzaz?bxxaz?bxax?by=(a3?b3)y(2)ay?bzaz?bxax?byay?bzzax?byyzxzxy;