《通信原理》习题第一章
第一章习题
习题1.1 在英文字母中E出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。 解：E的信息量：IE?log2
习题1.2 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
IA?log211??log2P(A)??log2?2bP(A)41??log2P?E???log20.105?3.25b P?E?
IB??log2335?2.415b IC??log2?2.415b ID??log2?1.678b 161616
习题1.3 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为
RB?等概时的平均信息速率为
1?100Bd
2?5?10?3Rb?RBlog2M?RBlog24?200bs
（2）平均信息量为
11316516 H?log24?log24?log2?log2?1.977比特符号
44163165?1.977?197.7bs 则平均信息速率为 Rb?RBH?100
习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：RB?
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为
1
11??200 Bd TB5*10?3《通信原理》习题第一章
H(X)???P(xi)log2P(xi)???P(xi)log2P(xi)?16*i?1i?1M6411log232?48*log2963296
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 Rb?mH?1000*5.79?5790 b/s 。
习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。
解：RB?11??8000 Bd ?6TB125*10等概时，Rb?RBlog2M?8000*log24?16kb/s
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：V?4kTRB?4*1.38*10?23*23*600*6*106?4.57*10?12 V
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m，试求其最远的通信距离。
解：由D2?8rh，得 D?8rh?8*6.376*10?*80
习题1.9 设英文字母E出现的概率为 0.105， x出现的概率为0.002 。试求 E 和x的信息量。 解：
p(E)?0.105p(x)?0.002I(E)??log2P?E???log20.105?3.25bitI(x)??log2P(x)??log20.002?8.97bit
849 km63
习题1.10 信息源的符号集由 A，B，C，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。
解：
1111155H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?2.23bit/符号448881616
习题1.11 设有四个消息A、B、C、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
2
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解：
11111111H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.75bit/符号
44888822习题1.12一个由字母A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每个脉冲宽度为5ms。
（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2） 若每个字母出现的概率为信息速率。
解：首先计算平均信息量。 （1）
11H???P(xi)log2p(xi)?4*(?)*log2?2 bit/字母 44
pB?131pC?pD?4,10, 4,
试计算传输的平均
平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s
（2）
11111133H???P(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.985 bit/字母5544441010 平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为
P(A)+P(B)=1,
(1)
P(A),划出现的频率为
P(B)
1P(A)?P(B) ? P(A)?34 P(B)?14 3I(A)??log2p(A)?0.415bitI(B)??log2p(B)?2bit
（2）
H???p(xi)log2p(xi)?3311log2?log2?0.811bit/符号 4444习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为
1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
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《通信原理》习题第一章
解： H???p(xi)log2p(xi)?16*(?111)?112*(?)log2?6.4bit/符号 322242244*1000=6400bit/s 。 平均信息速率为6.
习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率
解：RB?300B Rb?300bit/s
RB等于多
Rb等于多少？
习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
3600Mb8.i t0传送 1 小时的信息量 2.23*1000*? 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵：
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求码元宽度为0.5ms，求传码率
解：二进独立等概信号：四进独立等概信号： 小结：
记住各个量的单位： 信息量： bit
I??log2p(x)Hmax??log21?2.32bit/符5号
3600Mb8.i t3则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*?RB和
Rb；有四进信号，
RB和独立等概时的传信率
Rb 。
RB?1?2000B,Rb?2000bit/s0.5*10?3
RB?1?2000B,Rb?2*2000?4000bit/s?30.5*10。
信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 平均信息速率：bit/s?(bit/符号）/ (s/符号) 传码率：传信率：
I???p(ix)lox)2gp(
RBRb （B） bit/s
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第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1/2?limT???T?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e4 1?j?4162?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2
习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
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