第二章 平面向量 §2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝__________.
??当 时，与a方向相同
(2)λa (a≠0)的方向?；
?当 时，与a方向相反?
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 3．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________.
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
1
C．k＝2 D．k＝ 2→→→
2．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
→→→→
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则( ) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
→→→→→→
4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
→→→→
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s等于( )
48
A．0 B. C. D．3
53
→→→→→→
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|等于( )
A．8 B．4 C．2 D．1 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 11
y－a?－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______. 7．若2??3?2
→→→
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________.
→
9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)
→1→①－BC＋BA
2→1→②－BC－BA
2
→1→③BC－BA
2→1→④BC＋BA
2
→→→→→
10. 如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)
三、解答题
11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
→→→→→
12. 如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)
→→→
能力提升
→→
13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋→→?ABAC?＋λ?(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) →→??|AB||AC|?
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
→→→
CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于( ) 1121A.a＋b B.a＋b 42331112C.a＋b D.a＋b 2433
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的． a2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表|a|示与向量a同向的单位向量． 3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0
2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 3．b＝λa
4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 作业设计
11
1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
22
∴n＝2m，此时，m，n共线．]
→→→→
2．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，