习题2
2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。
?? (1) f(x)??n???rect(x?2n) (2) g(x)??n???tri(x?2n)
2.2 证明下列傅里叶变换关系式：
(1) F{rect(x)rect(y)}?sinc(?)sinc(?); (2) F{?(x)?(y)}?sinc2(?)sinc2(?); (3) F{1}??(?,?); (4) F{sgn(x)sgn(y)}??(5) F{n?(sinnx)}; (6) Fe?1??1????; iπ?iπ???????π(x?y)/a222?。
2.3 求x和xf(2x)的傅里叶变换。
2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 H(?)?tr?i(?1?)?tr?i( G(?)?rec?t(?/3)r?e c2.5 证明下列傅里叶变换定理：
(1) 在所在f(x,y)连续的点上FF{f(x,y)}?F?1F?1{f(x,y)}?f(?x,?y)； (2) F{f(x,y)h(x,y)?F{f(x,y)}*F(g(x,y)}。 2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：
(1) 若fr(r)??(r?r0)，则B{fr(r)}?2πr0J0(2πr0?); (2) 若a?r?1时fr(r)?1，而在其他地方为零，则B{fr(r)}?J1(2π?)?aJ1(2πa?)? ;
(3) 若B{fr(r)}?F(?)，则B{fr(r)}??πr21???? ; 2?a?a? (4) B{e}?e?π?2
im?2.7 设g(r,?)在极坐标中可分离变量。证明若f(r,?)?fr(r)e，则：
mim?,)?}?(i)emfHr{ ()} F{f(r?r 其中Hm{}为m阶汉克尔变换：Hm{fr(r)}?2π?rfr(r)Jm(2πr?)dr。而(?,?)空间频率中的极坐
0?标。(提示：e
iasinx???J(a)ek???kikx)
65
2.8 计算下列各式的一维卷积。
(1) rect??x?1??x?3? (2) *?(2x?3)rect???*?(x?4)*?(x?1)
?2??2??πx?x?1? (4) sin*comb(x)???2?2????rect(x) ?(3) rect?2.9 试用卷积定理计算下列各式。
(1) sinc(x)*sinc(x) (2) F{sinc(x)sinc(2x)} 2.10 用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布 f(x)?2?cosπ(?2x) 0扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。
2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。 2.12 计算下面函数的相关。
(1) rect??x?1??x?1?★rect??? (2) tri?2x?1?★tri?2x?1?
?2??2?2.13 应用傅里叶定理求下面积分。
(1)
????e?πx2cos(2πax)dx (2)
????sinc(x)sin(πx)dx
22.14 求函数f(x)?rect(x)和f(x)?tri(x)的一阶和二阶导数。 2.15 试求下图所示函数的一维自相关。
2.16 试计算函数f(x)?rect(x?3)的一阶矩。
2.17 证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数，即：Rff(x,y)?Rff(?x,?y)。 2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。
(1) step(x) (2) sgn(x) (3) sin(2π?0x)
2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。 (1) H(x)?tri(x?1)?tri(x?1) (2) G(x)?rect(x/3)?rect(x) 2.20 表达式
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p(x,y)?g(x,y)*?comb????x??y??comb???? X???Y??定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X，它在y方向上的周期为Y。 (a) 证明p的傅里叶变换可以写为： P(?,?)??nG???X?n???m?????m,Y????nm?????,???
XY?? 其中G是g的傅里叶变换。
??x??y?rect??2?时，画出函数p(x,y)的图形，并求出对应的傅里叶变换X??Y? (b) 当g(x,y)?rect?2P(?,?)。
习题3
3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：g(x,y)?cos[2π(?x??y)]，在什么充分条件下，输出是一个
空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
3.2 证明零阶贝塞尔函数2J0(2π?0r)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本
征值是什么？
3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试
问：
(a) 这个系统是线性的吗？
(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？ 3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布Uo(x,y)，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场
分布Ui(x,y)。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间
?(x,y)，|?|?Bx，|?|?By之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo它与真实物体Uo产生完全一样的像Ui，并且等产供效物体的场分布可写成：
????nm??(x,y)????U(?,?)sinc(n?2B?)sinc(m?2B?)d?d??x?,y? Uo??? 0XY??2BX2BY?n???m??????????3.5 定义： ?xy?
??f(0,0)1?f(x,y)xdyd, ????????F(0,0)67
1?F(?,?)d?d?
??