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高中数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。
? x>0? x + y>0? x>1? x + y>3???? ? ，但 与 不等价。 ? y>0? xy>0? y>2? xy>2
x
已知f(x) = ax + ，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。
b
①??3?a?b?0?错误解法 由条件得? b3?2a??6?②2?②×2－① 6?a?15 ③ ①×2－②得 ?8b2??? ④ 33310b431043③+④得 ?3a??,即?f(3)?.
33333x，其值是b错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)?ax?同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
?f(1)?a?b12?正确解法 由题意有?b, 解得：a?[2f(2)?f(1)],b?[2f(1)?f(2)],
33f(2)?2a??2??f(3)?3a?b1651637?f(2)?f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得 ?f(3)?. 39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌
握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。
2 (1) 设?、?是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的最小值是
22(A)?494(B)8(C)18(D)不存在
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6,
?(??1)2?(??1)2??2?2??1??2?2??1?(???)2?2???2(???)?2
349?4(k?)2?.44学习必备 欢迎下载
有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。4如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
2? 原方程有两个实根?、?，∴??4k?4(k?6)?0 ? k??2或k?3.
22当k?3时，(??1)?(??1)的最小值是8； 当k??2时，(??1)?(??1)的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 y2
(2) 已知(x+2)+ =1, 求x2+y2的取值范围。
4
2
22错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+
8228)+ ， 3382828
∴当x=－ 时，x2+y2有最大值 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 y2y22
事实上，由于(x+2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，
44
2
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1,
28
]。 3
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。 ●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 11
已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
ab错解 (a+
1121112)+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8,
abababab∴(a+
121)+(b+)2的最小值是8. ab1,第二次等2分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
号成立的条件是ab=
1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 ab1111112事实上，原式= a2+b2+2+2+4=( a2+b2)+(2+2)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
abababab1 = (1－2ab)(1+22)+4，
aba?b211111由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，
2422abab1251∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
2221125
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是 。
2ab●不进行分类讨论，导致错误
n(1)已知数列?an?的前n项和Sn?2?1，求an.
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nn?1nn?1?2n?1. 错误解法 an?Sn?Sn?1?(2?1)?(2?1)?2?2错误分析 显然，当n?1时，a1?S1?3?21?1?1。
错误原因：没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是。
?S1(n?1)因此在运用an?Sn?Sn?1时，必须检验n?1时的情形。即：an??。
S(n?2,n?N)?n2(2)实数a为何值时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?1x有两个公共点。 212222错误解法 将圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线 y?x联立，消去y，
2122得 x?(2a?)x?a?1?0(x?0). ①
2222???0?171?因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得?2a??0 ， 解之得a?.
82?2??a?1?0.错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a?0时，圆与抛物线有两个公共点。
y y
O O x
图2－2－1 图2－2－2
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
x ???0当方程①有一正根、一负根时，得?2解之，得?1?a?1.
a?1?0.?因此，当a?1712222或?1?a?1时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?x有两个公共点。 8212222思考题：实数a为何值时，圆x?y?2ax?a?1?0与抛物线y?x，
2(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
(1)设等比数列?an?的全n项和为Sn.若S3?S6?2S9，求数列的公比q.