巧解圆中的最值问题
求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型
如图1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B、C两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为
AO?半径，最大值为AO+半径.
类型1 定点定长定圆
例1 如图3，在?ABC中，?ACB?90?，?ABC?30?，将?ABC绕顶点C顺时针旋转，得到?MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC?2，连结PQ，则旋转时PQ长度的最大值是( ).
(A) 26 (B) 23 (C)
6 (D) 3
分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运 动轨迹.在这里，可以利用点Q是Rt?MNC斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等 于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC?CQ'?3，所以选D.
例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象交x轴于点
A(?1,0)，B(4,0)，交y轴于点C(0,2)，过B，C画直线，并连结AC.
(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式.
(2)点F是线段BC上的一点，过点F作?ABC内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AG上，GF交y轴于点M. ①求该正方形的边长;
②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗?请说明理由. (3)在(2)的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转的过程中，点P始终为CF的中 点，请直接写出线段OP的最大值.
分析 (1)二次函数解析式为
13y??x2?x?2
22直线解析式为y??1x?2 2(2)①
10，②不是； 7(3)本题中，O是定点，P是动点，取BC的中点K，连结BF，PK，由题意，得
PK?15BF?5，K(2,1) 2755为半径的圆，所以OP的最大值为 7所以P的运动轨迹是一个以K为圆心，OK?5125?5 77类型2 定线定角定圆
例3 (2016年宁波考纲)如图5，在等腰Rt?ABC中，AB?BC?2，点P为等腰
Rt?ABC所在平面内一点，且满足PA?PB，则PC的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段AB是定值，且AB所对的张角?APB是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上(不与A、B重合). 又因为?APB?90?，所以AB恰好是直径。连结CO并延长交圆O分别为P故 1、P2，
PC的取值范围为 CP1最小，CP2最大，所以
5?1?PC?5?1
例4 (2013年武汉中考题)如图6，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE?DF，连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 。
分析在确定动点H的轨迹时，需要我们先去证明?AHB?90?。因为AE?DF，易 证?ABE??DCF，得到?DCF??ABE，由正方形对称性可知?DAG??DCG，得到?DCF??DAG，所以?AHB?90?.
再考虑到E、F是边AD上两个动点，所以动点H的轨迹是以AB中点为圆心，AB12为半径的
1圆，连接OD，故可求得DH长度的最小值是5?1. 4