课时跟踪检测（七） 函数性质的综合问题
A级——保大分专练
1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．y＝e＋e sin xC．y＝
|x|
x－x B．y＝ln(|x|＋1) 1
D．y＝x－
x解析：选D 选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是11
单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0， ＋
xx1
∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
x1x2．下列函数中，与函数y＝x－2的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( )
2A．y＝cos x 1C．y＝ B．y＝x
??－x，x≥0，
D．y＝?2
?x，x<0?
2
13x
1x解析：选D 函数y＝x－2为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cos x21
是偶函数，且在R上不单调．函数y＝x是奇函数，但在R上单调递增．函数y3
??－x，x≥0，1
＝的定义域是{x|x≠0}，不是R.画出函数y＝?2
x?x，x<0?
2
的大致图象如图
所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.
5?5?3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f?x＋?＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，
4?2?则f(16)的值为( )
1
A. 23C. 2
1
B．－
23
D．－
2
?5??5?解析：选A 由f?x＋?＋f(x)＝0，得f(x)＝－f?x＋?＝f(x＋5)， ?2??2?
∴f(x)是以5为周期的周期函数， ∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.
5x∴当－≤x≤0时，f(x)＝2－1，
41－1
∴f(－1)＝2－1＝－，
211
∴f(1)＝，∴f(16)＝. 22
4．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a A．有最大值4 C．有最大值－3 B．有最小值－4 D．有最小值－3 解析：选B 法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B. 法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max ＝3，故选B. 5．(2018·惠州一调)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( ) A．(2，＋∞) C.?0，?1? B.?0，?∪(2，＋∞) ?2? D．(2，＋∞) ??2? ?∪(2，＋∞) 2? 解析：选B 因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， 所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(log2x)>2＝f(1)?f(|log2x|)>f(1)?|log2x|>1?log2x>1或log2x<－1?x>2或10 2 6．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有( ) ?3??1??1??1??1??3?A．f?? ?2??4??4??4??4??2??3??1??1??1??3??1?C．f?? 解析：选C 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周 ?3??1??1?期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f?? ?2??4??4? ?5?7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f?－?＝________. ?2? 1?5??5??1??1?解析：f?－?＝f?－＋2?＝f?－?＝－f??＝－. 2?2??2??2??2?1 答案：－ 2 8．(2018·合肥二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________________． 解析：令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)， 令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)． 故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)． 答案：f(x)＝log2(3－x) ?1?9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f??＝0，则f(x)>0?2? 的解集为_______________． ?1?解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f??＝0，可知函数y＝f(x)在(－?2? 11?1?∞，0)内单调递增，且f?－?＝0.由f(x)>0，可得x>或－ ???11 答案：?x?－ 2???2 ?? ? ?? 10．已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝________. 解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3. 答案：3 11．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式． 解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．