现代数值计算方法习题答案 李继云
习 题 一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数
字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 49×10-2 ：E = 0.005； Er = 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ：E = 0.00005；Er = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； Er = 0.0000102；5位有效数字.
22 = 3.1428 …… ， ? = 3.1415 …… ， 7取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.
E0.0013 E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；Er = = = 0.00041.
3.143.142、解：
3、解：101的近似值的首位非0数字?1 = 1,因此有 |Er*(x)|?n*11 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . ?10?(n?1) < = ×
2?12111*n?11*n?1*4、证：E(x)?(x)E(x)?(x)(x?x*)
nn Er(x)?n*E(x)nn*x*1(x)?n1?1*nn(x?x*)x*1x?x*1*??E(x) r*nxn5、解：(1)因为20?4.4721…… ，
又E(x*)?|x?x*| = |20?4.47| = 0.0021 < 0.01, 所以 x*? 4.47.
(2)20的近似值的首位非0数字?1 = 4,因此有 |Er*(x)|?1?10?(n?1) < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，x*? 4.47. 2?46、解：设正方形的边长为x,则其面积为y?x2，由题设知x的近似值为x*= 10 cm .
记y*为y的近似值，则
E(y*)?2x*(x?x*)?20(x?x*)?20E(x*) < = 0.1，
所以E(x*) < = 0.005 cm .
7、解：因为E(xn)?nxn?1(x?x*),
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E(xn)x?x*?n?nEr(x)?0.01n. 所以Er(x)?nxxn9、证：E(S)?S?S*?gt(t?t*)?gtE(t)
S?S*gt(t?t*)2E(t) Er(S)? 由上述两式易知，结论. ??2Stgt/210、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.
1**?1.41,所以|x0?x012、解： 因为x0?2,x0| < = ?10?2??
2 于是有
***?1| = 10|x0?x0|x1?x1| = |10x0?1?10x0| < =10?
***?1| = 10|x1?x1|x2?x2| = |10x1?1?10x1| < =102?
* 类推有 |x10?x10| < =1010??1?108 2 即计算到x10，其误差限为1010?，亦即若在x0处有误差限为?，则x10的误差将
扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.
习 题 二
1、 解：只用一种方法.
（1）方程组的增广矩阵为：
?2?1?1?4?? → 34?2?11 ?????3?24?11???2?1?1?4??011?1?10? → ????0?111?10???2?1?1?4??011?1?10? ????001?1?? → x1?3 , x2?1 , x3?1 . （2）方程组的增广矩阵为：
?3?14?7?? → ?12?2??1 ?????2?3?2?0???3?14?7??05?2?4? → ???2?2??01??3?14?7??05?2?4? ???2?1??00?→ x1?2 , x2?1 , x3?1/2 . （3）适用于计算机编程计算.
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2、 解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得
u11?6 u12?2 u13?1 u14??1
l21?a21/u11?1/3 l31?a31/u11?1/6
l41?a41/u11??1/6
第二步：计算U的第二行，L的第二列，得
u22?a22?l21u12?10/3 u23?a23?l21u13?2/3 u24?a24?l21u14?1/3 l32?(a32?l31u12)/u22?1/5
l42?(a42?l41u12)/u22?1/10
第三步：计算U的第三行，L的第三列，得
u33?a33?l31u13?l32u23?37/10 u34?a34?l31u14?l32u24??9/10 l43?(a43?l41u13?l42u23)/u33??9/37
第四步：计算U的第四行，得
u44?a44?l41u14?l42u24?l43u34??955/370
?6?2 从而， ??1???100?1?1/310= ??1/61/51???1/61/10?9/37?1?410?? 14?1??0?13?0?0??0??1?21?1?6??010/32/3?1/3?? ?0037/10?9/10???00?955/370??021 由LY?b , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T.
由UX?Y , 解得X=（1，-1，1，－1）T. 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大
于零来判断.
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