【9A文】中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

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第一章函数、极限与连续

内容概要

名称 函 数 主要内容(1.1、1.2) 邻 域 U?a,???xx?a??U0?a,f?(即U?a,????x0?x?a???(U?????xa???x?a???) 0 ?a,????xa???x?a??,x?0?) 函 数 初等 函数 由此,两函数相等?两要素相同;(与自变量用何字母表示无关) 解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数; 局对集合X?D,若存在正数M,使对所有x?X,恒有fx?M,称 部 特 有函数fx在X上有界,或fx是X上的有界函数;反之无界,即任意正数 性 界 ,总存在(能找到)x0?X,使得fx0?M M(无论M多大)性 局 区间I?D,对区间上任意两点xx2,当x1?x2时,恒有: 1部 单 fx1?fx2,称函数在区间I上是单调增加函数; 调 反之,若fx?fx,则称函数在区间I上是单调减小函数; 12性 设函数fx的定义域D关于原点对称;若?x?D,恒有f?x?fx, 奇偶则称fx是偶函数;若?x?D,恒有f?x??fx,则称fx是奇 性 函数; 周若存在非零常数T,使得对?x?D,有x?T?D,且 期性 fx?T?fx,则称fx是周期函数; 几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数; 两个要素:对应法则以及函数的定义域D ?????????????????????????????????????? 反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数 课后习题全解

习题1-1

★1.求下列函数的定义域:

知识点:自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量R的取值的集合; 思路:常见的表达式有①loga□,(□?0)②N/□,(□?0)③④arcsin(

(?0)

???1,1?)等

?x?0?x?012???x???1,0???0,1?; 解:(1)y??1?x??2?1?x?1x?1?x?0?x?1x?1(2)y?arcsin??1??1??1?x?3;

22?3?x?0?x?31(3)y?3?x?arctan?????x????,0???0,3?;

x?x?0?x?0(4)y?lg3?x?0?3?x?x?3?????x????,?1???1,3?; x?1?0?x?1?1?x,or,x??1【MeiWei_81重点借鉴文档】

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?0?x?1?2?x??1,2???2,4?; (5)y?logx?1(16?x)??1?x?1?0?16?x2?★2.下列各题中,函数是否相同?为什么?

(1)

f(x)?lgx2与g(x)?2lgx;(2)y?2x?1与x?2y?1

知识点:函数相等的条件;

思路:函数的两个要素是f(作用法则)及定义域D(作用范围),当两个函数作用法则f相同(化简

后代数表达式相同)且定义域相同时,两函数相同;

2解:(1)f(x)?lgx的定义域D=xx?0,x?R,g(x)?lgx的定义域D?xx?0,x?R},

虽然作用法则相同lg???x2?2lgx,但显然两者定义域不同,故不是同一函数;

(2)y?2x?1,以x为自变量,显然定义域为实数R;

x?2y?1,以x为自变量,显然定义域也为实数R;两者作用法则相同“2□?1”

与自变量用何记号表示无关,故两者为同一函数;

??sinx,x???3★3.设?(x)???0,x???3?y??(x)的图形

知识点:分段函数;

思路:注意自变量的不同范围; 解:?()?sin,求?(?),?(),?(?),?(?2),并做出函数 644????66???2??0;如图:

?1?2???,????sin?242?4?,???2???????sin?????2?4??4?

32y 0?3? 3x图1-1-3 ★4.试证下列各函数在指定区间内的单调性:

?3

(1)

y?x???,1?(2)y?2x?lnx,?0,??? 1?x知识点:单调性定义。单调性是局部性质,函数在定义域内不一定有单调性,但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题。

思路:利用单调性的定义即可。

解:(1)设x1,x2????,1?,当x1?x2时,

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x1xx1?x2?2??0,由单调性的定义知是单调增函数;

1?x11?x2?1?x1??1?x2?(2)设x1,x2??0,???,x1?x2,

xy1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln1

x2y1?y2?由x1,x2??0,???,x1?x2,知

x1x?1,故ln1?0(对数函数的性质),则有 x2x2y1?y2?0,得结论是单调增函数;

★5.设f(x)为定义在??l,l?内的奇函数,若f(x)在?0,l?内单调增加,证明:f(x)在??l,0?

内也单调增加

知识点:单调性和奇偶性的定义。

思路:从单调增加的定义出发,证明过程中利用奇函数的条件; 证明:设x1,x2???l,0?,x1?x2,则?x1 ,?x2?(0,l),?x2??x1,

由f?x?在?0,l?内单调增加得,f??x2??f??x1???1?,又f?x?为定义在??l,l?内的奇函 数,则(1)式变形为?f?x2???f?x1?,即f?x2??f?x1?,则结论成立。

★6.设下面所考虑函数的定义域关于原点对称,证明:

(2) 两个偶函数的和仍然是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;

(3) 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点:函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质。

本题可作为结论应用。

思路:按定义证明即可。 证明:设函数f?x?,g?x?定义域分别是D1,D2(D1,D2是关于原点对称区间);

(1)设F?x??f?x??g?x?,定义域为D1?D2,显然D1?D2也关于原点对称,

当f?x?,g?x?均为偶函数时,F??x??f??x??g??x??f?x??g?x??F?x?,得 F?x?为偶函数;

当f?x?,g?x?均为奇函数时,F??x??f??x??g??x???f?x??g?x???F?x?,得 F?x?为奇函数;

(2)令G?x??f?x?g?x?,定义域为D1?D2,D1?D2关于原点对称,

当f?x?,g?x?均为奇函数时,G??x??f??x?g??x???f?x?(?g?x?)?G?x?,得 F?x?为偶函数;

当f?x?,g?x?均为偶函数时,G??x??f??x?g??x??f?x?g?x??G?x?,得F?x?为

偶函数;

f?x?,g?x?为一奇一偶时,G??x??f??x?g??x???f?x?g?x???G?x?,得G?x?

为奇函数;

★7.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?

ex?e?x(1)y?tanx?secx?1;(2)y?2(4)y?x?x?2??x?2?。

;(3)

y?xcosxecosx;

知识点:函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质;

思路:按定义证明,尤其先判断函数定义域是否关于原点对称,并利用基本初等函数的性质; 解:(1)f??x??tan??x??sec??x??1??tanx?secx?1,显然既不等于f?x?,也不

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