点亮教育奥数班讲义 第一讲 巧数图形
小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗？你们是不是做过下面的这种题：
图中共有（ ）个平行四边形
这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？有没有什么巧妙的办法呢？现在让我们一起看一下吧。 一、数线段
例1数出右图中共有多少条线段。
方法一：找规律数线段。共有3＋2＋1＝6(条)。 方法二：分类数线段。 共有3＋2＋1＝6(条)。 例2．数出右面图中共有多少条线段？
解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．
第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段． 第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段． 第三部分是FG一条线段．
第四部分是JK一条线段． 10＋10＋1＋1＝22(条)
例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？ 分析：一条线段上有10个点，那么我们先把线段画出来 因此，共有线段： 9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条) 1
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总结：1、找规律数线段： 一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等
于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：
(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2； 2、分类数线段
练习：下列图形中各有多少条线段？
（3）
二、数角
例4．右面图形中有几个角？ 分析 方法和数线段相同 练习
（ ）个角 （ ）个角 三、数三角形
例5．数出下面图中共有多少个三角形？
方法一 数三角形个数的方法与数线段的方法差不多． 方法二 我们可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC
中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形． 底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个． 底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个． 底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．
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所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．
方法三 我们把图中 △ABC、 △ACD、△ADE看作基本三角形： 由1个基本三角形构成的三角形有 △ABC、 △ACD、 △ADE； 由2个基本三角形构成的三角形有 △ABD、 △ACE；
由3个基本三角形构成的三角形有 △ABE。 所以3＋2＋1＝6（个） 例6．数一数图中共有多少个三角形？
思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．
在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形， 在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形； 在△BDC中，一共有5个三角形．所以 15＋15＋5＝35(个) 例7．图中共有多少个不同的三角形？
思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路: 横着看，有3个基本三角形，所以1+2+3=6 竖着看，有两行，所以三角形个数为6×2=12个 例8．数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形． 由一个基本三角形构成的三角形共有8个； 由两个基本三角形构成的三角形共有4个；
由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个) 例9．数出下面图形中共有多少个三角形？
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解析：分类数三角形
由一个基本三角形构成的三角形共有9个； 由四个基本三角形构成的三角形共有3个； 由九个基本三角形构成的三角形只有1个．
因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形． 例10．数出下图中共有多少个三角形？ 思路分析：分类编号 由一块形成的三角形有4个；
由两块拼成的三角形有5个，分别是①＋②
①＋③ ③＋④ ②＋④ ⑤＋⑥； 由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥； 由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④； 没有由五块拼成的三角形；
由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形． 所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．
总结：1、找规律数三角形 2、纵横数三角形 3、分类数三角形 练习：下列图形中各有多少个三角形？
（ ）个三角形 （ ）个三角形 （ ）个三角形
（ ）个三角形 （ ）个三角形 （ ）个三角形
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四、数四边形
例11． 数出各图中正方形的个数． 解析：(1)中最基本的正方形有9个 (9＝3×3)； 由4个基本正方形组成的正方形有4个(4＝2×2)； 由9个基本正方形组成的正方形有1个(1＝1×1) 所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．
(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；
边长为2的正方形有9个，即9＝3×3； 边长为3的正方形有4个，即4＝2×2； 边长为4的正方形有1个，即1＝1×1． 所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．
例12． 图中共有多少个正方形？ 解析：将正方形分类，
由两块小三角形构成的正方形有4个； 由四块小三角形构成的正方形有4个； 由八块小三角形构成的正方形有1个； 由十六块小三角形构成的正方形有1个．
由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．
所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形． 例13． 数出图中共有多少个正方形？
方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类： 第1类：边长为1的正方形有24个；
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