复习讲练测·备战高考
思想02分类与整合思想
?x?1，x?0，11.（2017·全国高考真题（理））设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范
2?2，x?0，围是____________.
2．（2012·上海高考真题（理））如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且
AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .
3．（2017·全国高考真题（文））设数列?an?满足a1?3a2?L??2n?1?an?2n. （1）求?an?的通项公式；
（2）求数列??an??的前n项和． 2n?1??x2y23x4．,轴被曲线（2011·湖南高考真题（理））如图,椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为ab2C2:y?x2?b截得的线段长等于C1的长半轴长.
（1）求C1,C2的方程；
（2）设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交
提升突破·战胜高考
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与D,E.
①证明：MD?ME；
②记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.问：是否存在直线l,使得
325．（2019·全国高考真题（文））已知函数f(x)?2x?ax?2.
S117=?请说明理由. S232（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当0 一、考向分析： 二、考向解读 考向1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 1.有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等. 2.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等. 典例1.（2020·江苏高三专题练习）已知等比数列（ ） A．-1 提升突破·战胜高考 的前项和为,,则数列的公比 B．1 C．士1 D．2 复习讲练测·备战高考 ?2x?1,x?0典例2. （2020·江苏高三专题练习）已知函数f(x)??2,若不等式|f(x)|?mx?2恒 ??x?3x,x?0成立,则实数m的取值范围为( ) A．[3?22,3?22] C．(3?22,3?22) B．[0,3?22] D．[0,3?22] 典例3.（广东省韶关市2019届高三1月调研）已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆的一个顶点为 ,右焦点到直线（1）求椭圆的标准方程； （2）若过作两条互相垂直的直线的面积的取值范围. 考向2 由图形位置或形状引起的分类讨论 1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等. 2.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论. 3.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论. 典例4. （2019·全国高三专题练习（理））试在抛物线y??4x上求一点P,使其到焦点F的距离与到A??2,1?的距离之和最小,则该点坐标为( ) A．??2的距离为. ,且交椭圆于、两点,交椭圆于、两点,求四边形 ?1?,1? 4??B．??1?,1? 4??C．?2,?22 ??D．?2,22 ??典例5.（上海华师大二附中高三月考）在平面内,不共线的四个定点O、A、B、C满足 uuuruuuruuuruuurruuuruuuruuuuuuruuur|OA|?|OB|?|OC|?2,且OA、OB、OC两两夹角相等,动点E、F分别满足|AF|?1,AE?EC,则 uuur|EF|的取值范围为________ xy 典例6.设F1,F2为椭圆＋＝1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶 94|PF1| 点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________. |PF2| 考向3 由变量或参数引起的分类讨论 提升突破·战胜高考 2 2 复习讲练测·备战高考 含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想. 典例7. （2020·江苏高三专题练习）已知数列?an?的前n项和S满足 Sn?(?1)nan?2n?6?A．196 1(n?N*),则S100?（ ） n21B．200 C．194?100 2D．198?1 2102典例8.（天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上期末）已知函数 ,若方程有八个不等的实数根,则实数的取值范围是 __________． 典例9.（2020·江苏高三专题练习）设函数f(x)?mx?mx?1,(m?0),若对于 2x?[1,3],f(x)??m?5恒成立,则m的取值范围是________. 讲方法 1.分类整合思想的含义： 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合． 2.分类与整合思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的限制,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． 提升突破·战胜高考 复习讲练测·备战高考 3.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 4.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论. 5.解题时把好“四关”. (1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”; (2)要找准划分标准,把好“分类关”; (3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”; (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”. 典例10.（浙江省台州中学2018届高三统练）若关于x的不等式xx?a?b?a?R?在?1,2?上恒成立,则实数b的取值范围是_______. 典例11. （2019·上海市南洋模范中学高三期中）在数列?an??an?1?n?1n?2n?2a?1S3a?3a?2?3?2(n?2)中,1,,n是数列??的前n项和,当不等式nn?1?n?(3m?1)(Sn?m)*?1(m?N)恒成立时,mn的所有可能取值为 . m3(Sn?1?m)典例12. （2019·辽宁高三期末（理））定义：对于实数m和两定点M,N,在某图形上恰有n?n?N*?uuuuvuuuv·PN?m?i?1,2,3Ln?,称该图形满足“n度契合”.若边长为4的正方形个不同的点Pi,使得PMiiuuuruuuuruuuruuurABCD中,BC?2BM,DN?3NA,且该正方形满足“4度契合”,则实数m的取值范围是__________． 典例13. （2020·浙江高一期末）已知函数f?x??ln（1）判断并说明函数y?f?x?的奇偶性； 2（2）若关于x的不等式f?2m?msinx??fcosx?0恒成立,求实数m的取值范围． ?1?x2?x． ???典例14. （2018·河南高考模拟（理））已知抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F,准线为l,过焦点 2F的直线交C于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点,y1y2??4. 提升突破·战胜高考