弹簧问题归类
一、“轻弹簧”类问题
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F.
【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加弹簧上水平方向的力F1和称外壳上的力F2，且F1?F2，则弹图 3-7-1 簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 .
【解析】 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： F1?F2?ma，即a?F1?F2 F1 mF1?F2,仅以轻质弹簧为研究对象，m则弹簧两端的受力都F1，所以弹簧秤的读数为F1.说明:F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的.【答案】a?二、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，一质量为M、长为L的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况.
F【解析】 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度a?,
M图 3-7-2
xFx?F【答案】Tx?F MLL取弹簧左部任意长度x为研究对象，设其质量为m得弹簧上的弹力为：,Tx?ma?MxL三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题
弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A与B用轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是aA= 与aB=
【解析】由题意可设A、B、C的质量分别为m、以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A2m、3m，
受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均不变，故
图 3-7-3
木块A的瞬时加速度为0.以木块A、B为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力
FCB?3mg.以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FCB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均不变，FCB瞬时变为0，故木块B的瞬时合外力为3mg,竖直向下，瞬时加速度为1.5g. 【答案】0 ,1.5g. 说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变.
0【例4】如图3-7-4所示，质量为m的小球用水平弹簧连接，并用倾角为30的光滑木板AB托住，使小球恰好处于静止状态.当AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 ( ) A.0 B.大小为C.大小为23g，方向竖直向下 32323g，方向垂直于木板向下 D. 大小为g, 方向水平向右 33【解析】 末撤离木板前，小球受重力G、弹簧拉力F、木板支持力FN作用而平衡，如图3-7-5所
图 3-7-4
mg.撤离木板的瞬间，重力G和弹力F保持不变(弹簧弹力不能突变)，而木板支持力FNcos?立即消失,小球所受G和F的合力大小等于撤之前的FN (三力平衡)，方向与FN相反，故加速度方向
示，有FN?为垂直木板向下，大小为a?FNg23??g 【答案】 C. mcos?3图 3-7-5
四、弹簧长度的变化问题
设劲度系数为k的弹簧受到的压力为?F1时压缩量为?x1，弹簧受到的拉力为F2时伸长量为x2，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力?F1变为拉力F2，弹簧长度将由压缩量?x1变为伸长量x2，长度增加量为x1?x2.由胡克定律有: ?F1?k(?x1),F2?kx2.则:F2?(?F1)?kx2?(?kx1),即?F?k?x
说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时?x表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并
1
不是形变量.
【例5】如图3-7-6所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了 ,物块1的重力势能增加了 .
【解析】由题意可知，弹簧k2长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧k2长度的增加量与弹图 3-7-6 簧k1长度的增加量之和就是物块1的高度增加量.由物体的受力平衡可知，弹簧k2的弹力将由原来的压力(m1?m2)g变为0,弹簧k1的弹力将由原来的压力m1g变为拉力m2g,弹力的改变量也为(m1?m2)g .所以k1、k2弹簧的伸长量分别为:
11(m1?m2)g和(m1?m2)g k1k2111m2(m1?m2)g2，物块1的重力势能增加了(?)m1(m1?m2)g2 k2k1k2故物块2的重力势能增加了
五、弹簧形变量可以代表物体的位移
弹簧弹力满足胡克定律F??kx，其中x为弹簧的形变量，两端与物体相连时x亦即物体的位移，因此弹簧可以与运动学知识结合起来编成习题.
【例6】如图3-7-7所示，在倾角为?的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，其质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板，系统处于静止状态,现开始用一恒力F沿斜面方向拉A使之向上运动，求B刚要离开C时A的加速度a和从开始到此时A的位移d(重力加速度为g). 图 3-7-7 【解析】 系统静止时,设弹簧压缩量为x1，弹簧弹力为F1，分析A受力可知:F1?kx1?mAgsin?
mgsin?解得:x1?A,在恒力F作用下物体A向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态.设物体B刚要离开挡
kmgsin?板C时弹簧的伸长量为x2，分析物体B的受力有:kx2?mBgsin?,解得x2?B,设此时物体A的加速度为a，
kF?(mA?mB)gsin?由牛顿第二定律有:F?mAgsin??kx2?mAa 解得:a?因物体A与弹簧连在一起，弹簧长度的
mA改变量代表物体A的位移，故有d?x1?x2，即d?(mA?mB)gsin?(m?mB)gsin?【答案】d?A
kk六、弹力变化的运动过程分析
弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化.
结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，.此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动.结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程.
【例7】如图3-7-8所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均刚好处于伸直状态，物体A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.现在C端施加水平恒力F使物体A从静止开始向上运动.(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内).
(1)如果在C端所施加的恒力大小为3mg，则在物体B刚要离开地面时物体A的速度为多大? 图 3-7-8 (2)若将物体B的质量增加到2m，为了保证运动中物体B始终不离开地面，则F最大不超过多少?
mgmg【解析】 由题意可知，弹簧开始的压缩量x0?，物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量也是x0?.
kk(1)若F?3mg,在弹簧伸长到x0时，物体B离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于物体A增
1加的动能及重力势能的和.即：F?2x?mg?2x0?mv2得: v?22gx0
2(2)所施加的力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，
再受到恒定的重力和拉力.故物体A做简谐运动.在最低点有：F0?mg?kx0?ma1,式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点物体A的加速度.在最高点，物体B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则:
2
3mg[也可以利用简谐运动的平衡2位置求恒定拉力F0.物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，k(2x0)?mg?F0?ma2而kx0?mg，简谐运动在上、下振幅处a1?a2，解得：F0?x03mg3mg.]【答案】22gx0 ?F0,解得: F0?222说明: 区别原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关,和平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关. 七．与弹簧相关的临界问题
通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两个物体速度相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论。
【例8】如图3-7-9所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B的质量分别为0.42kg和
即伸长量为所在处.由mg?k弹簧的劲度系数k?100N/m，若在A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5m/s20.40kg，
的加速度竖直向上做匀加速运动（g?10m/s2）求： (1) 使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F
的最大值;
(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程中F对木块做的功.
图 3-7-9
【解析】 此题难点在于能否确定两物体分离的临界点.当F?0(即不加竖直向上F力)时，设木块
(m?mB)g ---①,A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有: kx?(mA?mB)g,即x?Ak对木块A施加力F，A、B受力如图3-7-10所示,对木块A有: F?N?mAg?mAa---②,对木块B有: kx'?N?mBg?mBa---③,可知，当N?0时，木块A、B加速度相同，由②式知欲使木块A匀加速运动，随N减小F增大,当N?0时, F取得了最大值Fm,即: Fm?mA(a?g)?4.41N 又当N?0m(a?g)时，A、B开始分离，由③式知，弹簧压缩量kx'?mB(a?g)，则x'?B---④,木块A、B的
图 3-7-10 k共同速度：v?2a(x?x')----⑤,由题知，此过程弹性势能减少了WP?EP?0.248J,设F力所做的
12联立①④⑤⑥式，且EP?0.248J,得：WF?9.64?10?2J【答案】（1）Fm?4.41N WF?9.64?10?2J
2功为WF，对这一过程应用功能原理，得： WF?(mA?mB)v2?(mA?mB)g(x?x')?EP----⑥
【例9】如图3-7-11所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触.它的内部有一直立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度.在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力.
【解析】 因为弹簧正好在原长时小球恰好速度最大，所以有：qE?mg--- ①,小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：kx?Mg---②,此时小球受力如图3-7-12所示，所受合力为
F?mg?kx?qE---③,由以上三式得小球的加速度a?Mg.显然，在最低点容器对桌面的压力
m图 3-7-11
最大，由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度，解以上式子得：kx?Mg所以
容器对桌面的压力为：FN?Mg?kx?2Mg. 八、弹力做功与弹性势能的变化问题
弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应
1图 3-7-12 用,用公式EP?kx2计算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相等. 2弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量.弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下方法: (1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算; (2)利用F?x图线所包围的面积大小求解; (3)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解. 由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解.特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等
时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解.
【例10】如图3-7-13所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，物块A和B大小可图 3-7-13
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