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22.2 二次函数与一元二次方程（王继伟）
一、教学目标 （一）学习目标
1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x轴的三种位置关系对应
着一元二次方程的根的三种情况.
2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点
1. 二次函数与一元二次方程之间的联系. 2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算. （三）学习难点
1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.
2．用函数观点看一元二次方程，体会二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法. 二、教学设计 （一）课前设计
1. 预习任务: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根 2. 预习自测
（1）二次函数y?x2?2x?3的图象与x轴的交点坐标是________，
一元二次方程x2?2x?3?0的根是__________. 【知识点】抛物线与x轴的交点
【解题过程】对于y?x2?2x?3，令y?0，得x2?2x?3?0，
解得x1??1,x2?3，
2∴二次函数y?x?2x?3的图象与x轴的交点坐标是(?1,0),(3,0)，
一元二次方程x2?2x?3?0的根是x1??1,x2?3；
【思路点拨】与x轴相交时，y=0，所以解方程即可得到抛物线与x轴交点的横坐标. 【答案】(?1,0),(3,0)，x1??1,x2?3；
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（2）二次函数y?x2?6x?9的图象与x轴的交点坐标是___________，
一元二次方程x2?6x?9?0的根是_____________. 【知识点】抛物线与x轴的交点
【解题过程】对于y?x2?6x?9，令y?0，得x2?6x?9?0，
解得x1?x2?3，
2∴二次函数y?x?6x?9的图象与x轴的交点坐标是(3,0)，
一元二次方程x2?6x?9?0的根是x1?x2?3.
【思路点拨】与x轴相交时，y=0，所以解方程即可得到抛物线与x轴交点的横坐标. 【答案】(3,0)，x1?x2?3；
（3）二次函数y?x2?x?1的图象与x轴的交点个数是______个，
一元二次方程x2?x?1?0的根的情况是___________． 【知识点】抛物线与x轴的交点
【解题过程】对于y?x2?x?1，令y?0，得x2?x?1?0，
∵??(?1)2?4?1?1??3?0，∴此方程无实数根，所以此抛物线与x轴无交点 ∴二次函数y?x2?x?1的图象与x轴的交点个数是0个，
一元二次方程x2?x?1?0的根的情况是无实数根．
【思路点拨】判断与x轴交点的个数，需计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断. 【答案】0， 无实数根 (二)课堂设计 1. 知识回顾
ca、b、c为常数，a?0）（1）二次函数的定义：形如y=ax2+bx+（的函数，叫做二次函数. （2）二次函数的图象和性质：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线， 当a>0时，当x<-当a<0时，当x<-bb时，y随着x的增大而减小，当x>-时，y随着x的增大而增大； 2a2abb时，y随着x的增大而增大，当x>-时，y随着x的增大而减小. 2a2a309教育资源库 www.309edu.com
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（3）一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0（a、b、c为常数，a?0） （4）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况怎样判定：
用根的判别式：d?b2?4ac ①当d＞0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根. 2. 问题探究
探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系
问题 如图，以40ms的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位: m）与飞行时间t（单位: s）之间具有函数关系
h=20t-5t2.
师问：考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 学生抢答：
（1）解方程15=20t-5t2得t1=1,t2=3，所以当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度是15m； 师问：你能结合图象指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
生答：小球在某一时间达到15m.然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15m.所以在两个时间，小球的高度为15m.
生答：作一条直线h=15，它与抛物线有两个交点，所以有两个时间小球的高度为15m. 生答：（2）解方程20=20t-5t2得t1=t2=2，所以当小球飞行2s时，它的飞行高度是20m； 师问：你能结合图象指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 生答：小球在某一时间达到最大高度.所以只在一个时间小球的高度为20m.
生答：作一条直线h=20，它与抛物线只有一个交点，所以有两个时间小球的高度为20m. 生答：（3）解方程20.5=20t-5t2,因为D=(-4)2-4?4.10，所以方程无实数根，所以小球的
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