→→→
3．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(0，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________________．
→→→
解析：由题意得AB＝(－3，1)，AC＝(2－m，1－m)，若A，B，C能构成三角形，则AB，→
AC不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
5
答案：m≠
4
4．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD1
中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，
2
54
AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，
则2λ－μ的取值范围是________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，
︵︵
→→→
3??1
则A(0，0)，E(1，0)，D?，?，B(2，0)，
?22?
C?，
?3?23??73??，F?，?； 2??44?
设P(cos α，sin α)(0°≤α≤60°)， →→→因为AP＝λED＋μAF，
3?3??1?7
所以(cos α，sin α)＝λ?－，?＋μ?，?.
?22??44?17
cos α＝－λ＋μ，?24?所以?
33
sin α＝λ＋μ，??24
所以2λ－μ＝3sin α－cos α＝2sin(α－30°)， 因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1]
→→→5．(2020·嘉兴模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM＝t1OA＋t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
6
→→→
解：(1)OM＝t1OA＋t2AB
＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
??4t2＜0，
当点M在第二或第三象限时，有?
?2t1＋4t2≠0，?
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
→
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2，4t2＋2)．
→→→→→→→
因为AB＝OB－OA＝(4，4)，AM＝OM－OA＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB，且有公共点A， 所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线． 6．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
→→
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值． 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 1
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
2(2)法一：因为A、B、C三点共线， →→
所以AB＝λBC，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
??2＝λ3所以?，解得m＝. 2?3＝mλ?
→
法二：AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， →
BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
→→
因为A、B、C三点共线，所以AB∥BC. 所以8m－3(2m＋1)＝0， 3
即2m－3＝0，所以m＝. 2
7