A题 零件的参数设计
摘要
零件的参数设计是工业生产中经常遇到的一个问题。本文通过题中具体例子给出一般零件参数设计的原则与方法。
模型一：蒙特卡罗模型。在确定各个参数标定值与容差的情况下，利用蒙特卡罗方法，尽可能模拟真实零件的生产状况。根据各个参数的分布，每个零件随机产生1000个实际值，代入公式算出每一个产品的Y值，根据其与目标值的关系判断损失费用。运用MATLAB算出总费用Q?314.57万元
模型二：概率模型。此问题是一个关于概率的非线性规划模型。首先，将产品参数Y关于零件参数xi的复杂的函数关系式运用泰勒级数展开成线性函数。一方面，在已知xi概率密度的情况下，易求出Y的概率密度，进而求出次品及废品的概率。另一方面，本文引入选择矩阵与等级矩阵，统一零件损失费用，而不需讨论108种分配情况。以工厂损失总费用最小为目标，建立关于积分方程的非线性规划模型。并用lingo编程得到表1-1的结果：
表1-1
零件序号 标定值 容差等级 x1 0.075 x2 0.225 x3 0.075 x4 0.075 x5 1.125 x6 18.089 x7 0.848 B B B C C B B 算出总费用为：Q?40.128万元。节省的总费用为274.442万元。 由上述例题概括出参数设计的一般方法： S1：在误差范围内，线性化产品参数关于零件参数的函数（可运用泰勒公式）； S2：确定产品参数的密度函数； S3：计算不同等级产品出现的概率；
S4：确定产品的质量损失费用函数（可利用期望求解）； S5：设计零件成本矩阵，计算总成本函数；
S6：确保总费用最小，求解零件参数的组合（可运用非线性规划求解）。
关键词：蒙特卡罗、泰勒公式、非线性规划、正态分布、0-1变量
一、 问题重述
1、背景知识
机械零件作为组成机械和机器的不可拆分的基本单元，在制造业中至关重要。机械零件是从机械构造学和力学分离出来的。随着机械工业的发展，新的设计理论和方法、新材料、新工艺的出现，机械零件进入了新的发展阶段。对零件也有了更加严格的要求。有限元法、断裂力学、弹性流体动压润滑、优化设计、可靠性设计、计算机辅助设计（CAD）、实体建模（Pro、Ug、Solidworks等）、系统分析和设计方法学等理论，已逐渐用于机械零件的研究和设计。更好地实现多种学科的综合，实现宏观与微观相结合，探求新的原理和结构，更多地采用动态设计和精确设计，更有效地利用电子计算机，才能进一步发展设计理论和方法。 2、问题重述
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
零件参数的设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素： 一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；
二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为：
??x4???1?2.621?0.36?x??0.85?2???x1??x3????Y?174.42??????x?x???xx6x71??5??2?0.56????32?x4??x?2????1.16
y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y0?0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y0?0.3时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）： 标定值容许范围 Ｃ等 Ｂ等 Ａ等 x1 [0.075,0.125] ／ 25 ／ x2 [0.225,0.375] 20 50 ／ x3 [0.075,0.125] 20 50 200 x4 [0.075,0.125] 50 100 500 x5 [1.125,1.875] 50 ／ ／ x6 [12,20] 10 25 100 x7 [0.5625,0.935] ／ 25 100 （1）现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。试求该种情况下的总费用。
（2）请综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？
二、基本假设
1.在生产加工过程中产品质量不受零件规格之外的其他因素的影响； 2.假设零件参数只受标定值和容差两部分影响；
3.在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍； 4.生产产品的费用只包括质量损失和产品成本两个部分； 5.各产品零件函数符合正态分布；且参数之间是相互独立的 6.生产一件产品所需要的各种零件数是相等且固定的，为1； 7.同种零件的选取等级是相同的。
三、参数说明
1．xi：表示零件i的参数； 2．?i：参数xi的标定值（期望）； 3．?i：参数xi的均方差（标准差）； 4．?y：参数y与目标值的偏差； 5．y0：参数y的目标值； 6．?xi：参数xi的容差； 7．W：产品质量损失； 8．C：产品的总成本； 9．Q：表示总费用；
10．f?xi?：参数xi的概率密度函数； 11．f?y?：Y的密度函数； 12．p1：产品为次品的概率；