=??k?0??2(k?1)b2kbf(t)e?stdt
令t???2kb,则
?而
2(k?1)b2kbf(t)e?stdt??2b0f(??2kb)e?s(??2kb)d?=e?2kb?2b0f(?)e?s?d?，
?所以
2b0f(t)e?stdt??te?stdt??(2b?t)e?stdt?0bb2b1(1?e?bs)2 2sL[f(t)]??ek?0???2kbs?2b0f(t)edt=??st2b0f(t)edt?(?e?2kbs)?stk?0??
由于当Re(s)?0时，
|e?2bs|?e?2?b?1，
所以
?(e?2kbs)?k?0??1，
1?e?2bs从而
1L[f(t)]?1?e?2bs ?2b0f(t)e?stdt=1?bs21(1?e)21?e?2bss
1(1?e?bs)21(1?e?bs) =2=2?bs?bss(1?e)(1?e)s(1?e?bs) 一般地，以T为周期的函数f(t)，即f(t?T)?f(t)(t?0)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有
L[f(t)]?11?e?sT?T0f(t)e?stdt (Re(s)?0)
成立.这就是求周期函数的Laplace变换公式.
Laplace变换可看成是Fourier变换在复变数域中的推广.与Fourier变换类似，对于Laplace变换式中每一对正、负?的指数分量决定一项变幅度的“正
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弦振荡”，其幅度也是一无穷小量，且按指数规律随时间变化.与Fourier变换中一样，这些振荡的频率是连续的，并且分布及于无穷.通常称s为复频率，并把
F(s)看成是信号的复频谱.
例8 因果信号f1(t)?e?tu(t)，求其Laplace变换. 解：FB1(s)???0e?(s??)t1?t?steedt??[1?lime?(???)te?j?t]
t???(s??)0s??? ?1,Re[s]?????s???
?????????
??
可见，对于因果信号，仅当Re[s]????时，其拉氏变换存在.收敛域如图所示.
图6 Laplace变换建立了信号在时域和复频域之间的对应关系，为今后更方便对系统进行分析，在此了解其一些基本性质
线性性质：设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s),a1，a2为任意常数，则
L?a1f1(t)?a2f2(t)??a1F2(s)?a2F2(s).
尺度变换：设 L?f(t)??F(s)，则当a?0时有L?f(at)??时间平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t?t0)??F(s)e?st0 频率平移：设L?f(t)??F(s)，则 L?f(t)es0t??F(s?s0) 时域微分：设L?f(t)??F(s)，则
1?s?F?? a?a?word文档 可编辑复制
?dnf(t)?nn?1?n?2?(n?1)??L??sF(s)?sf(0)?sf(0)?L?f(0). ?n?dt?如果函数为有始函数，上式可简化为
?df(t)? L???sF(s),dt???dnf(t)?nL???sF(s). ndt??时域积分：设L?f(t)??F(s)，则 L??t0f(?)d???F(s). s复频域微分与积分：设L?f(t)??F(s)，则
L?tf(t)???F(s)，s2??f(t)?L????sF(s)ds.
t??对参变量微分与积分：设L?f(t,a)??F(s,a),a为参数,则
??f(t,a)??F(s,a)及LL????a??a???a1a2f(t,a)da??F(s,a)da.
a2?a1初值定理：设函数f(t)及导数f?(t)存在，并有Laplace变换，则f(t)的初
f(t)?limsF(s). 值为 f(0?)?lim?t?0t??终值定理：设函数f(t)及导数f?(t)存在，并有Laplace变换，且F(s)的所有极点都位于s左半平面内，则f?t?的终值为
f????limf?t??limsF?s?.
t??s?0 实频域卷积定理（实卷积定理）设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s)则
L?f1(t)*f2(t)??F1(s)*F2(s)或L?1?F1(s)*F2(s)??f1(t)*f2(t).
复频域卷积定理（复卷积定理）设L?f1(t)??F1(s),L?f2(t)??F2(s),则
L?f1(t)*f2(t)??12?j?F1(s)*F2(s)?.
通过变换将时域中的积分微分方程变成复频域中的代数方程，在复频域中进行代数运算后则可得到系统响应的复频域解，将此解再经反变换则得到最终的时域解.在这种变换过程中，反应系统储能的初始条件可自动引入，运算较为简单，
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所得的响应为系统全响应.从信号分解的角度看Laplace变换（s域模型的建立）,在Laplace变换中激励被分解为无穷多个具有est形式的指数分量之和.如果能求得系统对每一指数分量所产生的响应，叠加后再变换到时域，同样可以求得零状态响应.对于具体的电路系统，不需列写电路的微分方程也可以求解.方法是建立电路的s域模型（即所有电量用其Laplace变换表示，元件的约束用其运算阻抗表示，储能元件的初始储能用等效源的Laplace变换表示）.这样由基尔霍夫定律的运算形式，可以由s域电路模型直接列写出s域的方程来求解.
第五章 总结
本文的目的是在掌握复变函数相关理论的基础之上，将其应用于物理实践上的研究，使物理学中（本文指通信工程）的问题得到简化并建立一定的模型和一整套思路.总结出动态信号从时间域变换到频率域主要通过Fourier级数和Fourier变换实现.周期信号靠Fourier级数，非周期信号靠Fourier变换等一系列结论.研究意义在于有助于我们从数学的角度审视实际问题，拓宽我们的思维并且为社会提供更有力的帮助!
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参考文献
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[5]王素珍,贺英,汪春梅,王涛,李改梅.通信原理[M].北京:北京邮电大学出版社,2010.
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