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第一章 热力学的基本规律
1．1 试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T。 解：已知理想气体的物态方程为pV?nRT 由此得到 体胀系数??1??V?nR1?， ???V??T?ppVT1??P?nR1? ???P??T?VpVT压强系数??等温压缩系数?T??1??V??1?nRT1?? ?(?)???2?V??pVpp????1．2证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得lnV????dT??Tdp?，如果??11,?T?，试求物态方程。 TP解： 体胀系数 ??1??V??? V??T?p1??V??? ??V??p?T等温压缩系数 ?T?? 以T，P为自变量，物质的物态方程为 V?V?T,p? ??V???V??? 其全微分为 dV??dT?dp?V?dT?V?Tdp ?????T?p??p?T 这是以T，P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得 根据题设 ， 若 ??11,?T? Tp则有 lnV?lnT?C， PV=CT p要确定常数C，需要进一步的实验数据。 1．4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力￡，物态方程是(￡,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为
??1??L?L??F?Y? ，等温杨氏模量定义为???? ，其中A是金属丝的截面。
L??T?FA??L?T
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一般来说，?和Y是T的函数，对￡仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为?￡?-YA?(T2-T1)。
解： f (￡,L,T)=0 ，￡=F￡(L,T)
??￡???￡???￡? d￡???dT???dL???dT (dL=0)
??T?L??L?T??T?L所以 ?￡?-YA?(T2-T1)
1．6 1mol 理想气体，在27oC的恒温下发生膨胀,其压强由20Pn准静态地降到1Pn，求气体所做的功和所吸收的热量。 VB解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。 根据W???pdV， VA在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB，外界对气体所做的功为 气体所做的功是上式的负值， ? W =?RTlnPB= 8.31?300?ln20J= 7.47?10?3J PA在等温过程中理想气体的内能不变，即?U=0 根据热力学第一定律?U=W+Q， 气体在过程中吸收的热量Q为 Q= ? W = 7.47?10?3J 1.7 在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为 V=18.066?0.715?10?3P+0.046?10?6P2cm3?mol?1 如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。 解：将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP2 由此得到 dV=(B+2CP)dP 保持温度不变，将1mol的水从1Pn加压至1000Pn，在这个准静态过程中，外界所作的功为 12W???pdV=??P(B?2CP)dp=?(BP2?CP3)1000=33.1J?mol?1 123VAPAVBPB1．11满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，n-?理想气体在多方过程中的热容量为Cn?CV n-1??U?P?V??dU?PdV??dV????CV??P 解： Cn?lim???? ?T?0?TdTdT??n??n??n理想气体多方过程 PV=RT
PVn=C
?PdV?VdP?RdTR?PdV??dT 有 ?n?1nn?1?VdP?0?PV?ndV?VdP?0,nPdV欢迎共阅
R n?1?Cp?CV?R?另一方面，理想气体 ?Cp
?C???Vn-?所以得 Cn?CV ， 证毕
n-11．12 试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定
Cn ?Cp是多方过程。多方指数n?。假设气体的定压热容量和定容热容量是常Cn ?Cv量。 解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW （1） 对于准静态过程 有dW= ? pdV 对于理想气体有 dU = Cv dT 气体在过程中吸收的热量为 dQ = CndT 则 热力学第一定律 （1）可表达为 (Cn ? Cv ) dT=pdV 用理想气体的物态方程 ?RT= pV 去除 上式，以及代入Cp ?Cn= ?R dTdV得到(Cn ?Cv) （2） ?(Cp ?Cv)TVdPdVdT理想气体的物态方程的全微分为 （3） ??PVTdTdPdV以上两式联立，消去，得(Cn ?Cv)?(Cn ?Cp)?0（4） TPVCn ?Cp令n?， Cn ?CvdPdV上式（4）表示为 ?n?0 PV若Cp,Cv,Cn都是常量， 将上式积分得 PVn=C 上式表明，过程是多方过程。 1．16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数F（T），其表达式所以 Cn?CV?为lnF?T???dT。 ???1?T 解： dV?Tds, dV?CVdT ?PdV 对准静绝热过程， dS＝0， 得到 CVdT??dV?s??PdV
?Cp?CV?R?另一方面，理想气体 ?Cp
?C???V