2019届高三年级第二次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|1 z 2. 若复数z满足＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________． a＋2i 3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________． (第3题) (第4题) 4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________． 5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________． 6. 在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________． x2y2 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y＝4x与双曲线－2＝1(b>0)的一个交 4b 2 点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________． π 8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(，2)，且相邻两条对称轴间的距 6ππ 离为，则f()的值为________． 24 9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________． 10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________． 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2＋(y－m)2 ＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________． → 12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB＋ →→→→PC)·AD＝4 2.若AD＝2，则PB·PC的值为________． ??|x＋3|， x≤0， 13. 已知函数f(x)＝?3设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四 ?x－12x＋3，x>0.? 个象限，则实数k的取值范围是________． 14. 在△ABC中，若sin C＝2cos Acos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) π 设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂 2直． (1) 求实数λ的值； 4 (2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值． 5 16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证： (1) DE∥平面ACC1A1； (2) AE⊥平面BCC1B1. 17. (本小题满分14分) 某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的π 距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，)．问：对于任意α，上述设 3计方案是否均能符合要求？