概率统计在生活中的应用 学位论文

五等奖 12△△△△摇△23△△△摇△△34△△摇△? 选7中2 △△45△摇△△△△56 (备注:按照顺序,其中:△表示不中的号码:?表示可中可不中) (2)乐透型

①“30选7”和“36选6+1”

玩法:“乐透型”有多种不同的形式,以“30选7”和“36选6+1”为例.“30选7”先从“01~30”这30个号码中摇出7个基本号码, 再从剩余的23个号码球中摇出一个特别号, 构成中奖号码.投注者从“01~30”这30个号码中任选7个,不考虑号顺序组成1注(不可重复).“36选6+1”:先从“01~36”这36个号码中摇出6个基本号, 再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码.从“01~36” 36个号码中任选7个,不考虑号顺序组成一注(不可重复).两种方案的中奖等级如下表2所列.

表2 30选7与36选6+1方案的中奖号码及中奖等级说明

30选7(7/30) 36选6+1(6+1/36) 奖级 中奖号码 说明 中奖号码 说明 一等奖 ●●●●●●● 选7中7 ●●●●●●★ 选7中6+1 二等奖 ●●●●●●○★ 选7中6+1 ●●●●●● 选7中6 三等奖 ●●●●●●○ 选7中6 ●●●●●○★ 选7中5+1 四等奖 ●●●●●○○★ 选7中5+1 ●●●●●○ 选7中5 五等奖 ●●●●●○○ 选7中5 ●●●●○○★ 选7中4+1 六等奖 ●●●●○○○★ 选7中4+1 ●●●●○○ 选7中4 七等奖 ●●●●○○○ 选7中4 ●●●○○○★ 选7中3+1 (备注:顺序不限,其中:●表示选中的基本号码,○表示未选中的基本号码,★表示选中的特别号码.) ②“双色球”

玩法:“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1—33中选择;蓝色球号码从1—16中选择.中奖等级如下表3所列.

表3 “双色球”方案的中奖号码及中奖等级说明 “双色球”--------33选6(红球)+16选1(蓝球) 奖级 中奖号码 说明 一等奖 ●●●●●●★ 选7中6个红球+1个蓝球 二等奖 ●●●●●●○ 选7中6个红球 三等奖 ●●●●●○★ 选7中5个红球+1个篮球 四等奖 ●●●●●○○ 选7中5个红球 ●●●●○○★ 选7中4个红球+1个蓝球 五等奖 ●●●●○○○ 选7中4个红球 ●●●○○○★ 选7中3个红球+1个蓝球 ●●○○○○○ 六等奖 ●○○○○○★ 选7中1个蓝球 ○○○○○○★ (备注:顺序不限。其中:●表示选中的红球,○表示未选中的红球,★表示选中的蓝球。)

(3)彩票各项奖金的设置方案

各种彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%, 投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖,则不再兼得低级别的奖.一般其中前面的一、二、三等奖为高项奖,按比例分配,后面的为低项奖,奖数额固定,分配方案如下表4所列.有多人同时中得高项奖时,中奖人平分高项奖的奖金.

各高项奖的奖金额计算方法为:[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖奖金总额]×单项奖比例.

表4 彩票各项奖金分配方案 方案 一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖比例 比例 比例 金额 金额 金额 金额 6+1/10 70% 15% 15% 300元 20元 5元 / 7/30 70% 10% 20% 200元 50元 10元 5元 6+1/36 75% 15% 10% 500元 100元 10元 5元 双色球 70% 20% 3000元 200元 10元 5元 / 2、彩票方案的数理分析(单注彩票的中奖概率)

在摇出中奖号码的过程中,中奖号码发生的事件,以及各种号码出现的概率是相互独立的,是等概率的,这是一个古典概型的问题.由古典概型得,中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数.从而,我们可以分别对传统型和乐透型彩票各奖项的中奖概率进行探讨.

(1)传统型彩票“10选6+1”

传统型“10选6+1”彩票的中奖规则,实质为排列组合的问题。以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率。各等级中奖概率如下: 传统型彩票“10选6+1” 特等奖 中6+1:P0=10-6×0.2=2×10-7 一等奖 中6:P1=10-6×0.8=8×10-7 二等奖 中5:P2=10-5×0.9×2=1.8×10-5 三等奖 中4:P3=10-4×0.9×2+10-4×0.92=2.61×10-4 四等奖 中3:P4=10-3×0.9×2+10-3×0.92×2=3.42×10-3 五等奖 中2:P5=10-2×0.9×2+10-2×0.92×3=4.23×10-2 中奖率 P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=4.6% (2)乐透型彩票

由于乐透型彩票是不按顺序排列也不能出现重复号码的一种玩法,虽然每次开奖结果不影响下期摇奖,即期与期之间是独立事件,但在同一期内先开出的号球并不放入摇奖机,则其必然会对下面号码的产生有一定的影响.在概率学上称做无放回的抽样,此时,其试验条件就已经不同了,故不能够直接套用二项分布。因此这是单纯的组合问题.

①“30选7”与“36选6+1”的中奖概率

“30选7” “36选6+1” 7c7-7 ==4.91×10一等奖 中7:P17c30 61c7×c1-6二等奖 中6+1:P2=7=3.438×10 c30 6c7×c122=7.5646×10-5 三等奖 中6:P3=7c3061c6×c1-7中6+1: P ==1.1979×1017c366c6×c1-629中6:P2= =3.4740×107c3651c6×c1×c129中5+1:P=2.0844×10-5 3=7c36 515c7×c1×c1c6×c10×c1-42229 P4==2.2694×10 中5:P4==2.9182×10-4 四等奖 中5+1:77c30c36 52c7×c10×c22-3 ==2.3828×10五等奖 中5:P57c30412c6×c1×c29-4中4+1:P ==7.2954×1057c36 41243c7×c1×c22c6×c10×c29-3-3 中4: =3.9714×10P==6.5659×10六等奖 中4+1:P6=677c30c36 43c7×c10×c22=2.6476×10-2 七等奖 中4:P7=7c30313c6×c1×c29中3+1:P7==8.755×10-3 7c36中奖率 P=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=3.31% P=P1+ P2+P3+P4+P5+P6+P7=1.64% ②“双色球”的中奖概率 “双色球”-----33选6(红球)+16选1(蓝球) 1-8P==5.6430×10中6红+1蓝: 一等奖 161c33c16 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 1c16中6红:P2=61=9.0288×10-7 c33c1651c6c27中5红+1蓝:P==9.1417×10-6 361c33c1651142c6c27c16+c6c27中5红/中4红+1蓝:P4==4.4337×10-4 61c33c1642133c6c27c16+c6c27中4红/中3红+1蓝:P==8.0548×10-3 561c33c1624156c6c27+c6c27+c27中1蓝:P6==0.0588726 61c33c16

中奖率 P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=6.738% 通过计算,以上几种形式的彩票,每期开奖中奖机会分别为:每1000个人中有46,33,16,67人能中奖,“双色球”的中奖率最高,所以“双色球”是当前比较流行的一种“乐透型”福利彩票.“双色球”中奖概率高完全是由于蓝球产生的,因为六等奖只需中蓝球,而它的概率高达5.887%,从而提高了“双色球”整体的中奖率.其实“双色球”一等奖中奖概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率,其一等奖的中奖概率为5.6430×10-8,是普通乐透型彩票“36选6+1” 一等奖中奖概率1.1979×10-7的0.471,连一半还不到.

因此彩民们要以良好的心态和自己的收入水平来购买彩票,收入较高的彩民,承受风险的能力较强,可以购买那些大奖金额高、中奖率相对较低的彩票,如“30选7”和“36选6+1”;而收入较低的彩民,承受风险的能力有限,适合购买那些中奖面宽的彩票,如“10选6+1”和“双色球”;喜欢高项奖的概率大一点则可以选择“10选6+1”和“30选7”.

3、彩票方案的投注技巧建议

(1)彩票中奖奖金额的影响因素

彩票中奖奖金额的期望依赖于两个因素:一个是各个奖级的中奖概率,这在前面已经计算得到了;另一个是各奖级的奖金金额.其中低项奖奖金固定,而高项奖(一般为一、二、三等奖)的奖金是浮动的.根据规定,一般来说,它又与三个因素有关:一是当期奖金总额,即销售的彩票总注数;二是上期“奖池”中的累积奖金;三是滞留下期“奖池”的奖金.既然高项奖的奖金额受当期奖金总额的影响,那么中大奖的期望额与当期彩票的销售额是否存在较大的关系呢? 定理:大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定,与销售额无关. 证明:设某期销售总额为N,k表示返奖比例(一般取k=50%),则由已知的彩票奖金分配方案,可以计算各等奖的奖金期望额Si(i=1,2,3),(这里以一、二、三等奖为高项奖为例,后面的单注彩票的中奖金额收益率讨论时同此) Si=(k·N-化简得: Si=(2k-)·ri/pi (i=1,2,3) (2) )·ri/

(i=1,2,3) (1)

(2)式中Pj(j=4,5,6,7)表示第j等奖的中奖概率,Sj(j=4,5,6,7)表示第j等奖的奖金额.ri(i=1,2,3)表示第i等奖占最高项奖的比例,pi(i=1,2,3)表示第i等奖的中奖概率.

可见,Si与N无关,说明一旦方案给定,其各奖项奖金的期望就均已确定,不会受销售额的影响.但对于彩民来说,了解彩票以往的销售情况又是非常必要的,若某种彩票连续几期不出大奖,奖池奖金不断积累,这时中奖后的回报率是很高的;反之,若本期出了头奖,减少下期购买数量也是明智的选择.当然,每注彩票的中奖概率仍然是均等的.

(2)单注彩票中奖金额收益率

设当期彩票售出n注,研究每注彩票的收益率.由于当期彩票的总奖金与所售的彩票注数n有关,n注彩票中,获得第i等奖的中奖注数??i是随机变量,且??i服从二项分布b(n;pi),即p(??i=k)=

n-k

由伯努利大数定律可知:当n足够大时,??i近似服从正态分布:

其期望与方差分别为:

设Xi(i=1,2,3)表示i等奖中奖注数,xi(i=1,2,?,7)表示每注彩票第i等奖的奖金金额,记Y= ??4x4+ ??5x5+ ??6x6+ ??7x7。再有??i的独立性,有:

(i=4,5,6,7)

于是由高项奖的计算公式,得高项奖的第i等奖的奖金额xi(i=1,2,3)为:

(i=1,2,3) (3)

其中ri(i=1,2,3)表示第i等奖的奖金比例.若??i(i=1,2,3)表示第i

等奖是否被取走,则??i服从两点分布.??i=0表示第i等奖没被取走,??i=1表示第i等奖已被取走,其分布率为:

若??表示取走的奖金总额,

.它是一个随机变量,??/n

则表示单注彩票的收益率.基于彩票的总奖金比例一般为销售额的50%,单注彩票金额为2元,首先分析??/n的数学期望E(??/n).

=

= =

(4)

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