专题16 等腰三角形的性质
阅读与思考
等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．
1800?∠A⑴ 图1中，?A?180?2?B，∠B?∠C?，∠DAC?2∠B?2∠C．
20⑵ 图2中，只要下述四个条件： ①AB?AC；②∠1?∠2；③CD?DB；④AD⊥BC中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．
D A A 1 2
B 图1
C B D 图2
C
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE， 则∠A=___________．
（五城市联赛试题）
解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．
A E B D C
【例2】如图，在△ABC中，已知∠BAC=90，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．
（安徽省竞赛试题）
解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．
0
A E B D F
C
0
【例3】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=
1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线． 2（北京市竞赛试题）
1
解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．
A E D B
C
【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．
（北京市竞赛试题）
B M
A
C
解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△ACN，连结BN(如图3)．
B N B O B
M
M C A D C A M 图1
N C A 图2 图3
【例5】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．
（天津市竞赛试题）
解题思路：欲证△AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．
2
A MB
D N C
【例6】如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．
A B
D C
能力训练
A级
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．
2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．
3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则 ∠BOQ=____________.
4．如图，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．
A MF N
O P B C A B D E B (第2题)
C Q
(第3题)
D
C A
(第4题)
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ ）
A．900-
1∠A 2
B．900-∠A D．450-
C．1800-∠A
6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（
A．600 B．450
1∠A 2 ）
3