九年级上册数学知识点归纳湘教版

2018年茶陵思源实验学校九年级数学

第一章《反比例函数》知识点归纳和典型例题

一、基础知识

(一)反比例函数的概念 1.数为

)可以写成

)的形式,注意自变量x的指

这一限制条件;

,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函

数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数

的自变量

,故函数图象与x轴、y轴无交点.

(二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数

的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,

且x应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:

2.自变量的取值范围:

3.图象:

(1)图象的形状:双曲线.

越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.

越小,图象的弯曲度越大.

(2)图象的位置和性质:

与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当而减小; 当

时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大

时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大

而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(

)在双曲线的另一支上. 图象关于直线和(

对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)

)在双曲线的另一支上.

4.k的几何意义

如图1,设点P(a,b)是双曲线

上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y

轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).

如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为

图1 图2

5.说明:

(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.

(2)直线 当

与双曲线的关系:

时,两图象必有两个交点,

时,两图象没有交点;当

且这两个交点关于原点成中心对称.

(3)反比例函数与一次函数的联系.

(四)实际问题与反比例函数 1.求函数解析式的方法: (1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.

2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上. (五)充分利用数形结合的思想解决问题. 三、例题分析

1.反比例函数的概念

(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ). A.y=3x B.

C.3xy=1 D.

(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ). A.

B.

C.

D.

答案:(1)C;(2)A.

2.图象和性质

是反比例函数,

(1)已知函数

①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________. ②若y随x的增大而减小,那么k=___________.

(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数图象位于第________象限. (3)若反比例函数定不经过第_____象限.

(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数 则直线

不经过的象限是( ).

的图象上,

经过点(

,2),则一次函数

的图象一

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第

四象限

(5)若P(2,2)和Q(m,

)是反比例函数

图象上的两点,

则一次函数y=kx+m的图象经过( ).

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限

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