2018年茶陵思源实验学校九年级数学
第一章《反比例函数》知识点归纳和典型例题
一、基础知识
（一）反比例函数的概念 1．数为
（
）可以写成
（
）的形式，注意自变量x的指
这一限制条件；
，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函
数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数
的自变量
，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数
的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，
且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：
（
）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当而减小； 当
时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大
，
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大
而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（
）在双曲线的另一支上． 图象关于直线和（
，
对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）
）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线
上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y
轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为
．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线 当
与双曲线的关系：
时，两图象必有两个交点，
时，两图象没有交点；当
且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．
C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．
B．
C．
D．
答案：（1）C；（2）A．
2．图象和性质
是反比例函数，
（1）已知函数
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数图象位于第________象限． （3）若反比例函数定不经过第_____象限．
（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线
不经过的象限是（ ）．
的图象上，
经过点（
，2），则一次函数
的图象一
的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第
四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，
）是反比例函数
图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限