则P（ξ=0）=P（ξ=1）==
P（ξ=2）==
P（ξ=3）==
P（ξ=4）=ξ的分布列为： ξ P 0 1 ，且ξ的所有取值为0，1，2，3，4． ，
，
，
， ．
2 ．
3 4 ∴数学期望Eξ=
点评： 本题考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，考查了相互独立事件和独立重复试验，是中档题．
19.考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD，证明RM∥FD，然后利用直线余平米平行的判定定理证明QR∥平面BCD．
（Ⅱ）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，面BDF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可． 解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD
∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且∵DF⊥CD∴RM∥FD， 又FR=3RC，∴∵E为FD的中点，∴∴OQ∥RM，且OQ=RM
∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM
又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）∵DF=2，
，
，∴BF=BD+DF，∴BD⊥DF，
2
2
2
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
，∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） 以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系 ∵∴
﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴
，设平面BCF的法向量为
，
，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴，令y=1，则，∴，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 面BDF的一个法向量为
则
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
∴平面BDF与平面BCF所成二面角的余弦值为分）
说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明．
点评： 本题列出直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20.解：（Ⅰ）由题意得=解得a=2，b=1． 所以椭圆C的方程是
+y=1．
2
，且+
=1，又a2﹣b2=c2，
（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立
消去y得（1+4k）x+8ktx+4t﹣4=0，
2
2
2
则有x1+x2=，x1x2=
2
2
，
由△＞0可得1+4k＞t， y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=
设A，B的中点为D（m，n），则m==﹣，n==
因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣=△＞0可得4k+1＞t，可得﹣9＜t＜0， 因为cos∠APB=2cos∠APD﹣1=﹣， 所以cos∠APD=
，可得tan∠APD=
，
2
2
2
得=﹣，
所以|AB|=
=?
，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=
=
?
，
=，
由==和=﹣，
解得t=﹣1∈（﹣9，0），k=直线l的方程为y=
，
x﹣1．
x﹣1或y=﹣
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的实际背景及作用． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1）B（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以AB为直径的圆过坐标原点，求出中点坐标，再由点到直线距离公式和弦长公式代入化简整理，再由两直线垂直的条件，解方程可得k，进而得到所求直线方程． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得=
，且
+
=1，又a﹣b=c，
2
2
2
解得a=2，b=1． 所以椭圆C的方程是
+y=1．
2
（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立
消去y得（1+4k）x+8ktx+4t﹣4=0，
2
2
2
则有x1+x2=，x1x2=
2
2
，
由△＞0可得1+4k＞t， y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=
设A，B的中点为D（m，n），则m==﹣，n==
因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣=△＞0可得4k+1＞t，可得﹣9＜t＜0， 因为cos∠APB=2cos∠APD﹣1=﹣，
2
2
2
得=﹣，
所以cos∠APD=，可得tan∠APD=，
所以|AB|=
=?
，由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=
=
?
，
=，
由==和=﹣，
解得t=﹣1∈（﹣9，0），k=直线l的方程为y=
，
x﹣1．
x﹣1或y=﹣
点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式，同时考查圆的性质：直径所对的圆周角为直角，考查直线垂直的条件和直线方程的求法，属于难题
21.考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围．
（Ⅱ）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，判断函数的单调性，求出极小值．