2019届新课标1(河南、河北、山西、江西 )高考压轴卷数学理试题Word版含解析

则P(ξ=0)=P(ξ=1)==

P(ξ=2)==

P(ξ=3)==

P(ξ=4)=ξ的分布列为: ξ P 0 1 ,且ξ的所有取值为0,1,2,3,4. ,

, .

2 .

3 4 ∴数学期望Eξ=

点评: 本题考查了离散型随机变量的期望的应用,离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值,考查了相互独立事件和独立重复试验,是中档题.

19.考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

分析: (Ⅰ)连接OQ,在面CFD内过R做RM⊥CD,证明RM∥FD,然后利用直线余平米平行的判定定理证明QR∥平面BCD.

(Ⅱ)以O为原点,OD为y轴建立如图空间直角坐标系,求出平面BCF的法向量,面BDF的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可. 解答: (本小题满分12分)

解:(Ⅰ)连接OQ,在面CFD内过R做RM⊥CD

∵O,Q为中点,∴OQ∥DF,且∵DF⊥CD∴RM∥FD, 又FR=3RC,∴∵E为FD的中点,∴∴OQ∥RM,且OQ=RM

∴OQRM为平行四边形,∵RQ∥OM

又RQ?平面BCD,OM?平面BCD,∴QR∥平面BCD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分) (Ⅱ)∵DF=2,

,∴BF=BD+DF,∴BD⊥DF,

2

2

2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)

,∴

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)

又DF⊥CD,∴DF⊥平面BCD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分) 以O为原点,OD为y轴建立如图空间直角坐标系 ∵∴

﹣﹣﹣﹣﹣(8分) ∴

,设平面BCF的法向量为

,∴∠DBC=30°,∴在直角三角形BCD中有

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴,令y=1,则,∴,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 面BDF的一个法向量为

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12

∴平面BDF与平面BCF所成二面角的余弦值为分)

说明:此题也可用传统的方法求解,第一问也可用向量法证明.

点评: 本题列出直线与平面平行的判定定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

20.解:(Ⅰ)由题意得=解得a=2,b=1. 所以椭圆C的方程是

+y=1.

2

,且+

=1,又a2﹣b2=c2,

(Ⅱ)设直线l的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立

消去y得(1+4k)x+8ktx+4t﹣4=0,

2

2

2

则有x1+x2=,x1x2=

2

2

由△>0可得1+4k>t, y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

设A,B的中点为D(m,n),则m==﹣,n==

因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=﹣=△>0可得4k+1>t,可得﹣9<t<0, 因为cos∠APB=2cos∠APD﹣1=﹣, 所以cos∠APD=

,可得tan∠APD=

2

2

2

得=﹣,

所以|AB|=

=?

,由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=

=

?

=,

由==和=﹣,

解得t=﹣1∈(﹣9,0),k=直线l的方程为y=

x﹣1.

x﹣1或y=﹣

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的实际背景及作用. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a,b,c的关系,即可得到椭圆方程;

(Ⅱ)设直线l的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1)B(x2,y2),联立椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,以AB为直径的圆过坐标原点,求出中点坐标,再由点到直线距离公式和弦长公式代入化简整理,再由两直线垂直的条件,解方程可得k,进而得到所求直线方程. 解答: 解:(Ⅰ)由题意得=

,且

+

=1,又a﹣b=c,

2

2

2

解得a=2,b=1. 所以椭圆C的方程是

+y=1.

2

(Ⅱ)设直线l的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立

消去y得(1+4k)x+8ktx+4t﹣4=0,

2

2

2

则有x1+x2=,x1x2=

2

2

由△>0可得1+4k>t, y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

设A,B的中点为D(m,n),则m==﹣,n==

因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=﹣=△>0可得4k+1>t,可得﹣9<t<0, 因为cos∠APB=2cos∠APD﹣1=﹣,

2

2

2

得=﹣,

所以cos∠APD=,可得tan∠APD=,

所以|AB|=

=?

,由点到直线距离公式和弦长公式可得|PD|=

=

?

=,

由==和=﹣,

解得t=﹣1∈(﹣9,0),k=直线l的方程为y=

x﹣1.

x﹣1或y=﹣

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,弦长公式,同时考查圆的性质:直径所对的圆周角为直角,考查直线垂直的条件和直线方程的求法,属于难题

21.考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)求出函数的导数,利用f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,得到a的表达式,利用函数的最小值求出a的范围.

(Ⅱ)通过a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,利用导数的符号,判断函数的单调性,求出极小值.

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