第2讲 不等式与线性规划
1．(2016·浙江)已知实数a，b，c，( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 答案 D
解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A，当a＝b＝10，c＝－110时，可排除此选项； 对选项B，当a＝10，b＝－100，c＝0时，可排除此选项； 对选项C，当a＝10，b＝－10，c＝0时，可排除此选项． 故选D.
x－y＋1≥0，??2．(2016·课标全国丙)若x，y满足约束条件?x－2y≤0，
??x＋2y－2≤0，________． 3
答案 2
x－y＋1≥0，??
解析 满足约束条件?x－2y≤0，
??x＋2y－2≤0
则z＝x＋y的最大值为
1
1，?为顶点的的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C??2?13
1，?时取得最大值. 三角形内部及边界，如图，过C??2?2
3．(2016·上海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为________． 答案 (2,4)
解析 －1 ??ax＋y＝1， 4．(2016·上海)设a>0，b>0，若关于x，y的方程组?无解，则a＋b的取值范围 ?x＋by＝1? 是________． 答案 (2，＋∞) 解析 由已知得，ab＝1，且a≠b， ∴a＋b>2ab＝2. 1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点； 2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围； 3.利用不等式解决实际问题. 热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 f?x? (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； g?x? f?x?(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. g?x? 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解． 例1 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) 1?? (2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为?x|x<－1或x>2?，则f(10x)>0的解集为( ) ? ? A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1 a2 解析 (1)由值域为[0，＋∞)，可知当x＋ax＋b＝0时有Δ＝a－4b＝0，即b＝， 4 2 2 a2?a?2 ∴f(x)＝x＋ax＋b＝x＋ax＋＝?x＋2?. 4 2 2 a x＋?2 aaa 解得－c 222∵不等式f(x) c－?－(－c－)＝2c＝6，解得c＝9. ∴?2??21(2)由已知条件0<10x<， 21 解得x 2 思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 跟踪演练1 (1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________. (2)不等式2 x2－x＜4的解集为________． 5 答案 (1) (2)(－1,2) 2 解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，5 即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝. 2(2)∵2 热点二 基本不等式的应用 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，1 当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)． 4 例2 (1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为( ) A．2 C．4 B．22 D．8 x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1 11 (2)设实数m，n满足m>0，n<0，且＋＝1，则4m＋n( ) mnA．有最小值9 C．有最大值1 B．有最大值9 D．有最小值1