下载高一数学47二倍角的正弦,余弦,正切第三

教学内容:二倍角的正弦、余弦、正切(第三课时)

??11.已知sinα=,2π<α<3π,那么sin2+cos2=_____.

315?2.若|cosθ|=,π<θ<3π,那么sin的值是( )

52210101515A. B.- C. D.-

5555?43.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=,且β是第三象限角,则cos的值等于

52( )

A.±

【课前复习】

5 5 B.±

25 5 C.-

5 5 D.-

25 5

【学习目标】

(1)会综合运用倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式、和差公式进行三角函数式的求值、化简、证明.

(2)会利用倍角公式及其他三角公式解决一些简单的实际问题.

【基础知识精讲】

本课时的内容是进一步熟悉所学过三角函数关系式、诱导公式、和(差)公式等.综合运用这些三角公式进行化简、求值和证明三角恒等式.

重点是公式的灵活运用.

难点是公式的逆向运用及变式训练. 在本课的学习中要注意弄清下面的问题:

和、差、倍、半三角公式的内在联系及推导线索是什么?

【学习方法指导】

如何利用和、差、倍、半三角公式求值?

?[例1]已知:α,β∈[0,π],tan2=

??25,cos(α+β)=,求cosβ的值. 313分析:tan2求出cosα,sinα,tanα的值,再由cosβ=cos(α+β-α)便可求出.

?解:∵tan2=

22?5>0 ,∴cosα=

?1331?tan22?1212>0,tanα=>1 1351?tan22tansinα=

?21?tan2?2

∴∴

?4<α<

?2.又∵0≤β≤π

?4<α+β<

3? 25??,∴<α+β< 134212∴sin(α+β)=

13又∵cos(α+β)=

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =

5512122+2=1. 13131313评注:①解这类题要注意所求角与已知角之间的相互表示.

②在限制角的范围时,一二象限用余弦;三四象限用正弦;二三象限用正切,一四象限用正弦. 如何利用和、差、倍、半三角公式进行三角函数式的化简? [例2]化简:

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?

分析:因为此式有弦有切,首先把切化成弦,再把分母中的根号用倍角公式化简. 解:

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70??1?cos40?

cos40??sin50?(1?3=

cos10??3sin10?sin10?)cos40??sin50??cos10?cos10?=

22sin70?cos20?sin70??2cos20?2sin50?132sin50??cos50?(cos10??sin10?)cos40??cos10?22cos10?= 222cos20?2cos20?cos40??=

cos40??=

sin100?cos10?=1?cos40?

2cos220?2cos220??2.

2cos220?2cos220?评注:解这类化简题要注意以下几个问题:①要化简到最简形式,②有弦有切的形式一般把切化成弦,带有根号的用倍角公式(平方公式)去根号,③注意公式的逆用与asinα+bcosα=a2?b2sin(α+?)形式的化简.

如何利用和、差、倍、半角公式进行三角恒等式的证明?

[例3]求证:(1)[sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)]2[sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)]=sin2θ;

3

(2)cos3θ=4cosθ-3cosθ;

1?2sin?cos?1?tan??(3).

cos2??sin2?1?tan?分析:(1)把左边去括号便可推出右端;(2)考虑到左边含3θ,右边含θ,只须把cos3θ按和

22

角公式展开即可;(3)右边=tan(45°+α),左边把1用sinα+cosα替换便可证出.

2222

证明:(1)左边=(sinθ+sinθ+cosθ+cosθ)2(sinθ-sinθ-cosθ+cosθ)

2

=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=(sinθ+cosθ)-1

=2sinθcosθ=sin2θ=右边. ∴原式成立.

(2)左边=cos(θ+2θ) =cos2θcosθ-sin2θsinθ

22

=(2cosθ-1)cosθ-2sinθcosθ

32

=2cosθ-cosθ-2cosθ(1-cosθ)

3

=4cosθ-3cosθ=右边. ∴原式成立.

sin2??cos2??2sin?cos?③左边=

cos2??sin2?(sin??cos?)2sin??cos?== (cos??sin?)(cos??sin?)cos??sin?sin?cos?=cos??sin? 右边=

sin?cos??sin?1?cos?1?∴左边=右边 ∴原式成立.

评注:一般情况下,证明三角恒等式,可以从左边推到右边,也可以从右端推到右边,本着化繁为简的原则;还可以将左、右两边同时推向一个中间结果;有时改正其等价命题可能更为方便.不管采用哪一种方式,证明时都要盯住目标,据果变形.

三角公式在代数中是如何应用的.

[例4]证明:内切圆半径为定值r的直角三角形中,以等腰直角三角形的周长最小. 分析:如图4-7-2所设.由已知得α+β=45°,l=2(x+y+r),本题的目的是要证明,当l取最小值时,α=β,故我们要找出变量x,y与已知r以及角α、β的三角函数之间的关系,并利用α+β=45°,写出角α或β的三角函数表示l的函数式.

图4-7-2

证明:如图4-7-2:设∠OAB=α,∠OBA=β,AF=AD=x,BE=BD=y,△ABC的周长为l, ∵∠C=90°,⊙O为△ABC内切圆.

∴2β=90°-2α,即α+β=45°或α-β=2α-45° ∵x=rcotα,y=rcotβ

∴l=2(x+y+r)=2r(cotα+cotβ+1) =2r(

cos?cos??+1) sin?sin?sin(???)+1)

sin?sin?=2r(

=2r[

sin45?1??cos??????cos??????2+1]

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