教学内容：二倍角的正弦、余弦、正切（第三课时）
??11．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin2＋cos2＝_____．
315?2．若|cosθ|＝，π＜θ＜3π，那么sin的值是（ ）
52210101515A． B．－ C． D．－
5555?43．已知sin（α－β）cosα－cos（α－β）sinα＝，且β是第三象限角，则cos的值等于
52（ ）
A．±
【课前复习】
5 5 B．±
25 5 C．－
5 5 D．－
25 5
【学习目标】
（1）会综合运用倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式、和差公式进行三角函数式的求值、化简、证明．
（2）会利用倍角公式及其他三角公式解决一些简单的实际问题．
【基础知识精讲】
本课时的内容是进一步熟悉所学过三角函数关系式、诱导公式、和（差）公式等．综合运用这些三角公式进行化简、求值和证明三角恒等式．
重点是公式的灵活运用．
难点是公式的逆向运用及变式训练． 在本课的学习中要注意弄清下面的问题：
和、差、倍、半三角公式的内在联系及推导线索是什么？
【学习方法指导】
如何利用和、差、倍、半三角公式求值？
?［例1］已知：α，β∈［0，π］，tan2＝
??25，cos（α＋β）＝，求cosβ的值． 313分析：tan2求出cosα，sinα，tanα的值，再由cosβ＝cos（α＋β－α）便可求出．
?解：∵tan2＝
22?5＞0 ，∴cosα＝
?1331?tan22?1212＞0，tanα＝＞1 1351?tan22tansinα＝
?21?tan2?2
∴∴
?4＜α＜
?2．又∵0≤β≤π
?4＜α＋β＜
3? 25??，∴＜α＋β＜ 134212∴sin（α＋β）＝
13又∵cos（α＋β）＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα ＝
5512122＋2＝1． 13131313评注：①解这类题要注意所求角与已知角之间的相互表示．
②在限制角的范围时，一二象限用余弦；三四象限用正弦；二三象限用正切，一四象限用正弦． 如何利用和、差、倍、半三角公式进行三角函数式的化简？ ［例2］化简：
cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?
分析：因为此式有弦有切，首先把切化成弦，再把分母中的根号用倍角公式化简． 解：
cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70??1?cos40?
cos40??sin50?(1?3＝
cos10??3sin10?sin10?)cos40??sin50??cos10?cos10?＝
22sin70?cos20?sin70??2cos20?2sin50?132sin50??cos50?(cos10??sin10?)cos40??cos10?22cos10?＝ 222cos20?2cos20?cos40??＝
cos40??＝
sin100?cos10?＝1?cos40?
2cos220?2cos220??2．
＝
2cos220?2cos220?评注：解这类化简题要注意以下几个问题：①要化简到最简形式，②有弦有切的形式一般把切化成弦，带有根号的用倍角公式（平方公式）去根号，③注意公式的逆用与asinα＋bcosα＝a2?b2sin（α＋?）形式的化简．
如何利用和、差、倍、半角公式进行三角恒等式的证明？
［例3］求证：（1）［sinθ（1＋sinθ）＋cosθ（1＋cosθ）］2［sinθ（1－sinθ）＋cosθ（1－cosθ）］＝sin2θ；
3
（2）cos3θ＝4cosθ－3cosθ；
1?2sin?cos?1?tan??（3）．
cos2??sin2?1?tan?分析：（1）把左边去括号便可推出右端；（2）考虑到左边含3θ，右边含θ，只须把cos3θ按和
22
角公式展开即可；（3）右边＝tan（45°＋α），左边把1用sinα＋cosα替换便可证出．
2222
证明：（1）左边＝（sinθ＋sinθ＋cosθ＋cosθ）2（sinθ－sinθ－cosθ＋cosθ）
2
＝（sinθ＋cosθ＋1）（sinθ＋cosθ－1）＝（sinθ＋cosθ）－1
＝2sinθcosθ＝sin2θ＝右边． ∴原式成立．
（2）左边＝cos（θ＋2θ） ＝cos2θcosθ－sin2θsinθ
22
＝（2cosθ－1）cosθ－2sinθcosθ
32
＝2cosθ－cosθ－2cosθ（1－cosθ）
3
＝4cosθ－3cosθ＝右边． ∴原式成立．
sin2??cos2??2sin?cos?③左边＝
cos2??sin2?(sin??cos?)2sin??cos?＝＝ (cos??sin?)(cos??sin?)cos??sin?sin?cos?＝cos??sin? 右边＝
sin?cos??sin?1?cos?1?∴左边＝右边 ∴原式成立．
评注：一般情况下，证明三角恒等式，可以从左边推到右边，也可以从右端推到右边，本着化繁为简的原则；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时改正其等价命题可能更为方便．不管采用哪一种方式，证明时都要盯住目标，据果变形．
三角公式在代数中是如何应用的．
［例4］证明：内切圆半径为定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小． 分析：如图4－7－2所设．由已知得α＋β＝45°，l＝2（x＋y＋r），本题的目的是要证明，当l取最小值时，α＝β，故我们要找出变量x，y与已知r以及角α、β的三角函数之间的关系，并利用α＋β＝45°，写出角α或β的三角函数表示l的函数式．
图4－7－2
证明：如图4－7－2：设∠OAB＝α，∠OBA＝β，AF＝AD＝x，BE＝BD＝y，△ABC的周长为l， ∵∠C＝90°，⊙O为△ABC内切圆．
∴2β＝90°－2α，即α＋β＝45°或α－β＝2α－45° ∵x＝rcotα，y＝rcotβ
∴l＝2（x＋y＋r）＝2r（cotα＋cotβ＋1） ＝2r（
cos?cos??＋1） sin?sin?sin(???)＋1）
sin?sin?＝2r（
＝2r［
sin45?1??cos??????cos??????2＋1］