2020年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第18讲 相似三角形练习

第18讲 相似三角形

重难点 相似三角形的性质与判定

(2018·包头)如图,在?ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,5

3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.

2

【思路点拨】 要求S△ADF,由已知条件EF∥BC,3AE=2BE,可得到AF与AC的数量关系,进而转换到S△ADF与S△ADC

的数量关系,而由平行四边形的性质知,S△ADC = S△ABC,由EF∥BC,3AE=2BE,S△AEF=1,结合相似三角形的性质,得S△ABC,则S△ADF即可求出.

方法指导求三角形面积常用方法

?直接法???

?等积法

???????等比法?

????

1

S△=ah

2

S1=S2

(等底同高)

(同底等高)

S1a(同高 =

S2b不同底)

(不同高不同底)

如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,AF⊥BE于点F,连接DF.

(1)求证:DE= BE·EF; (2)求∠EFD的度数.

AEEF22

【思路点拨】 (1)要证DE=EF·BE,而由已知条件知DE=AE,∴AE=EF·BE,即=,观察发现,这四

BEAE条边恰好在△ABE和△FAE中,故只需证明△ABE∽△FAE,由相似三角形的性质即可使问题得证;(2)要求∠EFD的AEEF

度数,而已知条件中并未告诉已知角,故要在正方形中构造已知角并将∠EFD进行转换.由(1)知=,而∠DEFBEAE=∠BED,故连接BD,可证△DEF∽△BED,由相似三角形的性质即可求出∠EFD的度数.

1

2

【自主解答】 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=90°. ∵AF⊥BE,∴∠AFE=90°.∴∠BAE=∠AFE. 又∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA. ∴

AEEF2

=,即AE=BE·EF. BEEA

∵E为AD的中点,∴AE=DE.

2

∴DE=BE·EF.

(2)连接BD,则∠EDB=45°. DEBE

由(1)得,=. EFDE又∠DEF=∠BED, ∴△DEF∽△BED.

∴∠EFD=∠EDB=45°. 方法指导

1.判定三角形相似的思路

?有一对另一对等角

?等角,找两夹边对应成比例?有两边?夹角相等

?

第三边也对应成比例?对应成?

比例,找??有一对直角 ?

直角三一对锐角相等

?角形,找斜边、直角边对应成比例?等腰三?顶角相等

?

?一对底角相等?角形,找?

??底和腰对应成比例

??

????????

有平行线——用平行线的性质,找等角

2.证明等积时,先由比例的基本性质,化等积式为比例式,然后把比例式,左侧(或分子),右侧(或分母)放

入两个三角形中,证明两个三角形相似即可,如不能放入两个三角形中,可找到相等边代换或寻找中间比.

3.求某个三角的边长或角度时,可借助条件,确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似,利用相似三角形的性质求解.

考点1 比例线段

ab

1.(2018·白银)已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是(B)

23

A.= B.2a=3b C.= D.3a=2b

abc

2.(2018·成都)已知==,且a+b-2c=6,则a的值为12.

654

考点2 黄金分割

ACBC

3.如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,AC与AB的比叫做

ABAC黄金比,其比值是(A)

2

a2b3b3a2

5-13-55+13+5A. B. C. D.

2222

考点3 平行线分线段成比例 4.(2018·哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交GD于点F,则下列结论一定正确的是(D)

A.= B.= C.= D.= ABAGAEADDFDGCFADFGEGACBDAECFBEDF

5.(2018·嘉兴)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F.AB1EF

已知=,则=2.

AC3DE

考点4 相似三角形的性质

6.(2018·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为(C)

A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 7.(2017·连云港)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是(D)

A.= B.C.

BC1DF2∠A的度数1

= ∠D的度数2

△ABC的面积1△ABC的周长1

= D.=

△DEF的面积2△DEF的周长2

8.(2018·荆门)如图,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE相交于点G.则S△EFG∶S△ABG

=(C)

A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1

3

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