第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I??Lxds，其中L是圆x2?y2?1中A(0,1)到B()．
11,?)之间的一段劣弧； 22解: (1?
12yA（2）(x?y?1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及
L?CoB(0,1)所成三角形的边界；
解:?(x?y?1)ds?3?22．
LxB （3）解:??Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?x；
Lx2?y2ds?2．
（4）
? Lx2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),
D(1,2,3)；
解:
2228xyzd?s5． ? L32zB(0,0,2)C(1,0,2)D(1,2,3)2 求八分之一球面x?y?z?1(x?0,y?0,z?0)的边界曲线的重心，设曲线的密度??1。
?444?解 故所求重心坐标为?,,?．
?3?3?3??A(0,0,0)yx
习题10—2
1 设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明
1
?Q(x,y)dy?0。
L证明：略.
2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）解 :
?Lxydx，其中L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。
4。 5
?Lxydx?（2）
? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中L是曲线y?1?1?x从对应于x?0时的点到
x?2时的点的一段弧；
解
（3）
? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?4． 3?L ydx?xdy,L是从点A(?a,0)沿上半圆周x2?y2?a2到点B(a,0)的一段弧；
解 ?ydx?xdy?0.
L
（4）?xy2dy?x2ydx，其中L沿右半圆x2?y2?a2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0)L到终点B(0,?a)的路径；
解 （5）解
?Lxy2dy?x2ydx???4a4。
?L x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB；
?Lx3dx?3zy2dy?x2ydz?87?t3dt??1087。 4?x2?y2?1 ,（6）I??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，L为椭圆周?且从z轴
Lx?y?z?2 ,?正方向看去，L取顺时针方向。
解: ??2?。
习题10—3
1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
2
?x?acos3t , (1) 星形线?） (0?t?2?)；3?y?asint ,解: ??a。
(2) 圆x?y?2by，（b?0）； 解: ??b。
2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) 方向；
解: ?18?。 (2)
222382??L(y?x)dx?(3x?y)dy，其中L是圆(x?1)2?(y?4)2?9，方向是逆时针
Lydx?(3siny?x)dy，其中L是依次连接A(?1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线
段，方向是顺时针方向。
解 :2 . (3)
?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中m为常数，L为圆x2?y2?2ax上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向弧； 解 : ?11m?a2?0?m?a2。 22xdy?ydx224x?y?1，取逆时，其中为椭圆L?Lx2?y2y(4) 针方向；
0(0,0)2?oA(2a,0)x解 ??d??2?．
0(5)
?u?u2222u(x,y)?x?yx?y?6x，其中，为圆周取逆时针方向，是dsL?L?n?n?uds?36?。 L?nu沿L的外法线方向导数。
解 ?
3 证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值: (1)
?(2,1)(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy；
?P?Q?1?在整个?y?x解 令P?2x?y，Q?x?2y，则
yB(2,1)3
OA(2,0)x