3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
A级 基础巩固
一、选择题
??x－y＋5≥0
1．不等式组?，所表示的平面区域是( )
?x＋y＋1＞0?
解析：不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1＞0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.
答案：D
y≥0，??
2．在平面直角坐标系中，不等式组?x＋3y≤4，表示的平面区域的面积是( )
??3x＋y≥4
3243
A. B. C. D. 2334
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
?4?平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4，0)，?，0?，(1，1)，所
?3?
1?4?4
以平面区域的面积为S＝×?4－?×1＝，故选C.
2?3?3
答案：C
3．已知点(a，2a－1)，既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) C．(0，2)
B．(－∞，5) D．(0，5)
??a>0，
解析：由题可得??0 ?2a－1>3a－6? 答案：D x＋y－1≥0，?? 4．在平面直角坐标系中，若不等式组?x－1≤0，(a为常数)所表示的平面区域的面 ??ax－y＋1≥0 积等于2，则a的值为( ) A．－5 B．1 C．2 D．3 解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1. 1 因为S△ABC＝2，所以(1＋a)×1＝2，所以a＝3. 2答案：D x－y＋5≥0，?? 5．若不等式组?y≥a，表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范 ??0≤x≤2 围是( ) A．a＜5 C．5≤a＜7 B．a≥7 D．a≥7或a＜5 解析：不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面区域如图所示．因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a＜7. 答案：C 二、填空题 6．若不等式|3x＋2y＋c|≤8表示平面区域总包含点(0，1)，(1，1)，则c的取值范围是________． ??|2＋c|≤8， 解析：由题意得??－10≤c≤3. ?|5＋c|≤8? 答案：[－10，3] 7．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t、硝酸盐15 t．现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，列出满足生产条件的数学关系式___________． 解析：由题意知满足以下条件： 4x＋y≤10，??18x＋15y≤66， ?x∈N， ??y∈N. 4x＋y≤10 ??18x＋15y≤66答案：? x∈N??y∈N x＋y－3≥0，?? 8．x，y满足?x－y＋1≥0，若方程y＝kx有解，则k的取值范围是 ??3x－y－5≤0， ____________________． 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，三条边界线的交点分别记为A，B， C，由图可知y＝kx应在直线OA与OB之间，所以kOB≤k≤kOA，即≤k≤2. 1 2 ?1?答案：?，2? ?2? 三、解答题 x＞0，?? 9．求不等式组?y＞0，表示的平面区域的面积及平面区域内的整数点坐标． ??4x＋3y≤12 解：画出平面区域(如图所示)，区域图形 为直角三角形． 1 面积S＝×4×3＝6. 2 x的整数值只有1，2.当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤. 83 所以整点为(1，2)，(1，1)． 4 当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤. 3所以整点为(2，1)． 综上可知，平面区域内的整点坐标为(1，1)、(1，2)和(2，1)． 10．画出下列不等式表示的平面区域． (1)(x－y)(x－y－1)≤0； (2)|3x＋4y－1|<5； (3)x≤|y|<2x. ??x－y≥0， 解：(1)由(x－y)(x－y－1)≤0，得? ?x－y－1≤0，???x－y≤0， 解得0≤x－y≤1或?无解． ?x－y－1≥0，? 故不等式表示的平面区域如图(1)所示． (2)由|3x＋4y－1|<5，得－5<3x＋4y－1<5， ??3x＋4y－6<0， 得不等式组? ?3x＋4y＋4>0，? 故不等式表示的平面区域如图(2)所示． (3)当y≥0时，原不等式可化为 x≤y，?? ?y≤2x，是点(x，y)在第一象限内两条过原点的射线y＝x(x≥0)与y＝2x(x≥0)所表??x≥0， 示的区域内． 当y≤0时，由对称性作表出另一半区域． 故不等式表示的平面区域如图(3)所示． (1) (2) (3) B级 能力提升 1．若函数y＝2图象上存在点(x，y)满足不等式组 xx＋y－3≤0，?? ?x－2y－3≤0，则实数m的最大值为( ) ??x≥m， 13 A. B．1 C. D．2 22 解析：不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，函数y＝2的图象经过D上的 ???y＝2，?x＝1，?点，由得?即交点坐标为(1，2)，当直线?x＋y－3＝0，??y＝2，? xxx＝m过点(1，2)时，实数m取得最大值1. 答案：B 2．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个． 解析：因为x，y为非负整数，所以满足x＋y≤2的点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)共6个． 答案：6 3．在△ABC中，各顶点坐标分别为A(3，－1)、B(－1，1)、C(1，3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组． 解：如图所示，可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0，2x＋y－5＝0.由于△ABC区域在直线AB右上方， 所以x＋2y－1≥0； 在直线BC右下方，所以x－y＋2≥2； 在直线AC左下方，所以2x＋y－5≤0. x＋2y－1≥0，?? 所以△ABC区域可表示为?x－y＋2≥0， ??2x＋y－5≤0.