1.2.2 充要条件
一、基础过关
1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的
( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．一次函数y＝－m1
nx＋n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( A．m>1，且n<1 B．mn<0 C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0
4．平面α∥平面β的一个充分条件是
( A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 5．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的
( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB→·AC→
<0”的
( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
)
)
)
)
)
二、能力提升
1
7．已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a
2的取值范围是________．
8．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件． 将所有正确命题的序号填在横线上________．
9．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的______________条件．
10．求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．
11. 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 三、探究与拓展
12．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
答案
1．A 2.A 3．B 4．D 5．A 6．B 10，? 7.??2?8．②④ 9.必要不充分
10．解 当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．
当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立．
?a>0???a>1.
Δ＝4－4a<0?
所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1. 11. 证明 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，
c
则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．
a即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， c
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，
a
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 12．证明 充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x
＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时． 又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，