应力也是一个不变量。其数学表达式如下：
等效应力在主轴坐标系中定义为
??122(?1??2)2?(?2??3)?(?3??1)2?3J?2
在任意坐标系中定义为
??12(?22x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)?6(?xy??22yz??zx)
7. 已知受力物体内一点的应力张量为
?505080????ij??500?75???80?75?30?? （MPa），
1试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=2的斜切面上的全应力、正应力和切应力。解：设全应力为S， sx，
sy, sz分别为S在三轴中的分量，
?Sx??xl??yxm??zxn?S??y?xyl??ym??zyn?S???z??xzl??yzmzn?
则有:
?s?11x=50
2??1+ 502+80
2=106.6 1?1?1sy?=502+02-75
2=-28.0 1s?z=80
2?1?1-752-30
2=-18.7 S2?S22?S2x?Syz 则得到 S ＝111.79 MPa ??Sxl?Sym?Szn 则得到 ?＝26.1 MPa
而?2?S2??2 则得到 ?＝108.7 MPa
8. 已知受力体内一点的应力张量分别为
?0?10????10?0?100?ij??①
??10010??， ?01720?????17200?ij??②
?00100??，
6
??7??ij???4?0?③
?4?100??0??4?? (MPa)
1） 画出该点的应力单元体；
2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；
3） 画出该点的应力莫尔圆。 解：1）略 2）在①状态下： J1=
?x+?y+?z=10
2J2=-(?x?y+?y?z+
?z?x)+
?2xy+
?2yz+
?zx=200
J3=?2x?y?z+2
?xy?yz?2zx-(
?x?yz+
?2y?zx+
?z?xy)=0
式
14—10和由
?3?J21??J2??J3?0
??1＝20 ， ?2＝0 ， ?3＝-10
l11?m1?02,n1??12l12?2m2?0n12?2代入公式对于
?1＝20时：
l对于
?2＝0时：
对于
?3＝－10时：
： 主切应力
???1??212?2??10m3?1n3?0l3?0??3??131??2??15???131???32??15
7
?23?? 最大切应力
?2??32??5??等效应力：12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2 ＝
700
应力偏张量：
??20?30?10?????40?ij???030??20????100?3??
1?(???11012??3)3(20?0?10)?m＝3＝3 故
???x?203??40y??3
应力球张量：
??1000??3??10?030?????20?10?z??3?003??
239. 某受力物体内应力场为：?x??6xy?c1x， ?y??32c2xy2，z??yz??zx?0，
试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、
c2、
c3。
xy??c2y3?c3x2y，
8
? ?
解：
??x????6y2?3c1x2;y??y?y??3c2xy
?
??xy?x??2c3y
??yx?y??3c2y2?c3x2
由平衡微分条件：
??6y2?3c1x2?3c22?2y?c3x?0??2c3xy?3c2xy?0
??yxzx??xz??y???zy?z????x??x??z?z?0
?c1?1???c2??2??c3?3
9
思考与练习15
1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。
答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；
工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化；
对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；
最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变
应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，应变张量
I1、I2、I3也应是单值的，所以将I1、I2、I3称为应变张量不变量。
等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变变。
?1。等效应变又称广义应
应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量
应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。 位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。
2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？
答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成一
??x??ij???yx??zx?ij?个应变张量，用表示，则
态。
?xy?xz???y?yz??zy?z???ij，
即可完整的表示受力物体内的应变状
3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？
答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。
4. 应变张量和应变偏张量有何关系？
答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：
（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用应变，则主应变张量为
?1、?2、?3表示主
??100????ij??0?20??00??3??
主应变可由应变状态特征方程
?3?I1?2?I2??I3?0
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